Эрмитов оператор

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Самосопряжённый оператор»)
Перейти к: навигация, поиск

В математике оператор в комплексном или действительном гильбертовом пространстве называется эрмитовым, симметрическим, если он удовлетворяет равенству для всех из области определения . Здесь и далее полагается, что  — скалярное произведение в . Название дано в честь французского математика Шарля Эрмита.

Оператор в называется самосопряжённым, или гипермаксимальным эрмитовым, если он совпадает со своим сопряжённым.

Самосопряжённый оператор является симметрическим; обратное, вообще говоря, не верно. Для непрерывных операторов, определённых на всём пространстве, понятия симметрический и самосопряжённый совпадают.


Свойства[править | править код]

1. Спектр (множество собственных чисел) самосопряжённого оператора является вещественным.

2. В унитарных конечномерных пространствах матрица самосопряжённого оператора является эрмитовой. (В частности, в евклидовом пространстве матрица самосопряжённого оператора является симметрической.)

3. У эрмитовой матрицы всегда существует ортонормированный базис из собственных векторов — собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Матрицы[править | править код]

Матрицей, эрмитово сопряжённой к данной, называют матрицу получаемую из исходной матрицы путём её транспонирования и перехода к комплексно сопряжённой, то есть . Это естественное определение: если записать линейное отображение и эрмитово сопряжённый ему оператор в любом базисе в виде матриц, то их матрицы будут эрмитово сопряжёнными. Матрицу, равную своему эрмитовому сопряжению, называют эрмитовой, или самосопряжённой: для неё .

Применение[править | править код]

Эрмитовы операторы играют важную роль в квантовой механике, где с их помощью представляют наблюдаемые физические величины, см. Принцип неопределённости Гейзенберга.

См. также[править | править код]