Метод регуляризации Тихонова — алгоритм, позволяющий находить приближённое решение некорректно поставленных операторных задач вида
. Был разработан А. Н. Тихоновым в 1965 году[1]. Основная идея заключается в нахождении приближённого решения уравнения
в виде
, где
— регуляризирующий оператор. Он должен гарантировать, что при приближении
к точному значению
при
приближённое решение
стремилось бы к желаемому точному решению
уравнения
.[2]
Регуляризирующий оператор
Оператор
, зависящий от параметра
, называется регуляризующим для уравнения
, если он обладает свойствами:
- Определён для всякого
и любого
.
- Если выполняется
, то существует такое
, что для любого
найдётся такое
, что если
, то
, где
,
,
— метрика в пространстве
(то есть
— расстояние между векторами
и
), а
— метрика в пространстве
.
Способ построения регуляризирующих операторов
Для широкого класса уравнений
А. Н. Тихонов показал, что решение задачи
минимизации функционала
можно рассматривать как результат применения регуляризирующего оператора, зависящего от параметра
. Функционал
называется стабилизатором задачи
.
Пример применения
Найдём нормальное (наиболее близкое к началу координат) решение
системы линейных уравнений
с точностью, соответствующей точности задания элементов матрицы
и столбца
в случае, когда значения элементов матрицы
и столбца свободных членов
заданы лишь приближённо.
Постановка задачи
Рассмотрим систему линейных уравнений в матричной форме:
. Назовем сферическими нормами величины
. Обозначим как
известные приближённые значения элементов
матрицы
и столбца
. Матрицу
и столбец
будем называть
-приближением матрицы
и столбца
, если выполняются неравенства
. Введём в рассмотрение функционал
. Теорема Тихонова сводит вопрос о приближённом нахождении нормального решения системы уравнений
к отысканию того элемента
, на котором достигает минимальное значение этот функционал.
Теорема Тихонова
Пусть матрица
и столбец
удовлетворяют условиям, обеспечивающим совместность системы
,
— нормальное решение этой системы,
—
-приближение
матрицы
,
—
-приближение столбца
,
и
— какие-либо возрастающие функции
, стремящиеся к нулю при
и такие, что
. Тогда для любого
найдётся положительное число
такое, что при любом
и при любом
,
удовлетворяющем условию
, элемент
, доставляющий минимум функционалу
, удовлетворяет неравенству
[3][4].
Примечания
- ↑ Тихонов А. Н. О некорректных задачах линейной алгебры и устойчивом методе их решения // ДАН СССР, 1965, т. 163, № 3, с. 591—594.
- ↑ Арсенин, 1974, с. 264.
- ↑ Линейная алгебра, 2004, с. 100.
- ↑ Методы решения некорректных задач, 1979, с. 119.
Литература