Плотность состояний

Плотность состояний — величина, определяющая количество энергетических уровней в единичном интервале энергий на единицу объёма в трёхмерном случае (на единицу площади — в двумерном случае). Является важным параметром в статистической физике и физике твёрдого тела. Термин может применяться к фотонам, электронам, квазичастицам в твёрдом теле и т. п. Применяется только для одночастичных задач, то есть для систем, где можно пренебречь взаимодействием (невзаимодействующие частицы) или добавить взаимодействие в качестве возмущения (это приведёт к модификации плотности состояний).

Определение

Чтобы вычислить плотность состояний энергии для частицы, сначала вычислим плотность состояний в обратном пространстве (импульсное или $k$-пространство). Расстояние между состояниями задано граничными условиями. Для свободных электронов и фотонов в пределах ящика размера $L$, и для электронов в кристаллической решётке с размером решётки $L$ используем периодические граничные условия Борна — фон Кармана. Используя волновую функцию свободной частицы, получаем

${\begin{matrix}e^{ikx}&=&e^{ik(x+L)}\\1&=&e^{ikL}\\2\pi n&=&kL\\{\frac {2\pi }{L_{x}}}&=&\Delta k\\\end{matrix}}$

где $n$ — любое целое число, а $\Delta k$ — расстояние между состояниями с различными $k$.

Полное количество $k$-состояний, доступных для частицы — это объём $k$-пространства, доступного для неё, делённый на объём $k$-пространства, занимаемого одним состоянием. Доступный объём — это просто интеграл от $0$ до $k$.

Объём $k$-пространства для одного состояния в $n$-мерном случае запишется в виде

$G(k)={\frac {g_{s}}{\left({\Delta k}\right)^{n}}}\int \limits _{0}^{k}\,{d^{n}{\mathbf {k} }},$

где $g_{s}$ — вырождение уровня (обычно это спиновое вырождение, равное 2). Это выражение нужно продифференцировать, чтобы найти плотность состояний в $k$-пространстве: $g(k)\,dk={\frac {dG(k)}{dk}}\,dk$. Чтобы найти плотность состояний по энергии, нужно знать закон дисперсии для частицы, то есть выразить $k$ и $dk$ в выражении $g(k)dk$ в терминах $E$ и $dE$. Например для свободного электрона: $E={\frac {p^{2}}{2m}}={\frac {(\hbar k)^{2}}{2m}}$, $dE={\frac {\hbar ^{2}k}{m}}\,dk.$

С более общим определением связано соотношение (обычно подразумевают единичный объём, но при общей форме записи добавляется множитель $1/V$)

$D(E)=\sum _{s}~\delta (E-E_{s})$

где индекс $s$ соответствует некоторому состоянию дискретного или непрерывного спектра, а $\delta$ — дельта-функция Дирака. При переходе от суммирования к интегрированию по фазовому пространству размерности $2n$ следует использовать правило

$\sum _{s}\rightarrow \int {\frac {d^{n}p~d^{n}q}{(2\pi \hbar )^{n}}}$

где $\hbar$ — постоянная Планка, $p$ — импульс, $q$ — пространственные координаты (в случае, если объём единичный, этот интеграл опускают).

Примеры

В следующей таблице представлены плотность состояний для электронов с параболическим законом дисперсии

	Доступный объём	Объём для одного состояния	Плотность состояний
$3D$	${\frac {4}{3}}\pi k^{3}$	${\frac {(2\pi )^{3}}{L_{x}L_{y}L_{z}}}$	${\frac {\sqrt {2m^{3}}}{\pi ^{2}\hbar ^{3}}}{\sqrt {E}}$
$2D$	$\pi k^{2}$	${\frac {(2\pi )^{2}}{L_{x}L_{y}}}$	${\frac {m}{\pi \hbar ^{2}L_{x}}}\sum _{l}\Theta (E-E_{l})$
$1D$	$2k$	${\frac {2\pi }{L_{x}}}$	${\frac {\sqrt {2m}}{\pi \hbar L_{x}L_{y}}}\sum _{l}{\frac {1}{\sqrt {E-E_{l}}}}$
$0D$			${\frac {2}{L_{x}L_{y}L_{z}}}\sum _{l}\delta (E-E_{l})$

где $l$ — индекс подзоны размерного квантования, $\Theta$ - функция Хевисайда. Здесь рассмотрен не чистый случай, а когда квантование по одному или нескольким направлениям связано с некоторым ограничивающим потенциалом.

Внешние ссылки

• Britney Spears' Guide to Semiconductor Physics