Неравенство Чебышёва для сумм , носящее имя Пафнутия Львовича Чебышёва , утверждает, что если
a
1
⩾
a
2
⩾
⋯
⩾
a
n
{\displaystyle a_{1}\geqslant a_{2}\geqslant \cdots \geqslant a_{n}}
и
b
1
⩾
b
2
⩾
⋯
⩾
b
n
,
{\displaystyle b_{1}\geqslant b_{2}\geqslant \cdots \geqslant b_{n},}
то
1
n
∑
k
=
1
n
a
k
b
k
⩾
(
1
n
∑
k
=
1
n
a
k
)
(
1
n
∑
k
=
1
n
b
k
)
.
{\displaystyle {1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\geqslant \left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right).}
Аналогично, если
a
1
⩾
a
2
⩾
⋯
⩾
a
n
{\displaystyle a_{1}\geqslant a_{2}\geqslant \cdots \geqslant a_{n}}
и
b
1
⩽
b
2
⩽
⋯
⩽
b
n
,
{\displaystyle b_{1}\leqslant b_{2}\leqslant \cdots \leqslant b_{n},}
то
1
n
∑
k
=
1
n
a
k
b
k
⩽
(
1
n
∑
k
=
1
n
a
k
)
(
1
n
∑
k
=
1
n
b
k
)
.
{\displaystyle {1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\leqslant \left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right).}
Неравенство Чебышёва для сумм легко выводится из перестановочного неравенства :
Предположим, что
a
1
⩾
a
2
⩾
⋯
⩾
a
n
{\displaystyle a_{1}\geqslant a_{2}\geqslant \cdots \geqslant a_{n}}
и
b
1
⩾
b
2
⩾
⋯
⩾
b
n
.
{\displaystyle b_{1}\geqslant b_{2}\geqslant \cdots \geqslant b_{n}.}
В виду перестановочного неравенства выражение
a
1
b
1
+
⋯
+
a
n
b
n
{\displaystyle a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}}
является максимально возможным значением скалярного произведения рассматриваемых последовательностей. Суммируя неравенства
a
1
b
1
+
⋯
+
a
n
b
n
=
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+
⋯
+
a
n
b
n
{\displaystyle a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}}
a
1
b
1
+
⋯
+
a
n
b
n
⩾
a
1
b
2
+
a
2
b
3
+
⋯
+
a
n
b
1
{\displaystyle a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\geqslant a_{1}b_{2}+a_{2}b_{3}+\cdots +a_{n}b_{1}}
a
1
b
1
+
⋯
+
a
n
b
n
⩾
a
1
b
3
+
a
2
b
4
+
⋯
+
a
n
b
2
{\displaystyle a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\geqslant a_{1}b_{3}+a_{2}b_{4}+\cdots +a_{n}b_{2}}
⋮
{\displaystyle \vdots }
a
1
b
1
+
⋯
+
a
n
b
n
⩾
a
1
b
n
+
a
2
b
1
+
⋯
+
a
n
b
n
−
1
{\displaystyle a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\geqslant a_{1}b_{n}+a_{2}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n-1}}
получаем
n
(
a
1
b
1
+
⋯
+
a
n
b
n
)
⩾
(
a
1
+
⋯
+
a
n
)
(
b
1
+
⋯
+
b
n
)
;
{\displaystyle n(a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n})\geqslant (a_{1}+\cdots +a_{n})(b_{1}+\cdots +b_{n});}
или, разделив на
n
2
{\displaystyle n^{2}}
(
a
1
b
1
+
⋯
+
a
n
b
n
)
n
⩾
(
a
1
+
⋯
+
a
n
)
n
⋅
(
b
1
+
⋯
+
b
n
)
n
.
{\displaystyle {\frac {(a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n})}{n}}\geqslant {\frac {(a_{1}+\cdots +a_{n})}{n}}\cdot {\frac {(b_{1}+\cdots +b_{n})}{n}}.}
Существует также непрерывный аналог неравенства Чебышёва для сумм:
Если f(x) и g(x) — это вещественные интегрируемые на [0,1] функции, возрастающие или убывающие одновременно, то
∫
0
1
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
⩾
∫
0
1
f
(
x
)
d
x
∫
0
1
g
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \int \limits _{0}^{1}f(x)g(x)\,dx\geqslant \int \limits _{0}^{1}f(x)\,dx\int \limits _{0}^{1}g(x)\,dx.}
