Теорема Колмогорова о двух рядах в теории вероятностей задает достаточное условие сходимости с вероятностью единица ряда независимых случайных величин. Теорема Колмогорова о двух рядах может быть использована для доказательства усиленного закона больших чисел.
Для сходимости с вероятностью единица ряда
из независимых случайных величин достаточно, чтобы одновременно сходились два ряда:
и
. Если к тому же
, то это условие является и необходимым.
Доказательство
Если
, то по теореме Колмогорова - Хинчина о сходимости
сходится. Но по предположению ряд
сходится, поэтому сходится и ряд
.
Для доказательства необходимости воспользуемся следующим приемом "симметризации". Наряду с последовательностью
рассмотрим не зависящую от неё последовательность случайных величин
таких, что
имеет то же распределение, что и
.
Тогда, если сходится ряд
, то сходится и ряд
, а значит, и ряд
. Но
и
. Поэтому по теореме Колмогорова - Хинчина о сходимости
.
Далее
.
Поэтому по теореме Колмогорова - Хинчина о сходимости с вероятностью единица сходится ряд
, а значит, сходится и ряд
.
Итак, из сходимости ряда
(в предположении
вытекает, что оба ряда
и
сходятся.
Литература
- Ширяев А. Н. Вероятность. — 3-е изд., перераб. и доп.. — М.: МЦНМО, 2004. (Глава 4 § 2 раздел 1)