Теорема Пикара (интегральные уравнения) - теорема существования и единственности решения для интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода.
Интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода с замкнутым симметричным ядром
вида
, где
имеет единственное решение в классе функций
тогда и только тогда, когда ряд
сходится.
В формулировке теоремы
- характеристические числа ядра
,
- коэффициенты Фурье функции
относительно собственных функций
этого ядра:
. Симметричное ядро
называется замкнутым в
, если каждая функция
, удовлетворяющая равенству
равна нулю почти всюду на отрезке
. Для замкнутого ядра его собственные функции образуют ортогональную полную в
систему функций.
Предположим, что существует решение
уравнения
.
Найдем коэффициенты Фурье функции
относительно собственных функций
этого ядра:
.
Здесь во втором равенстве использовано, что в силу условия теоремы
, в четвёртом равенстве, что, в силу симметричности ядра
.
Равенство
может быть переписано в виде
. Отсюда следует, что числа
являются коэффициентами Фурье функции
. В силу известной теоремы математического анализа, ряд
из квадратов этих коэффициентов является сходящимся.
Предположим, наоборот, что ряд
сходится. Тогда в силу теоремы Рисса-Фишера существует единственная функция
, для которой числа
являются коэффициентами Фурье по системе функций
, то есть выполняются равенства
для всех
. Эта функция
удовлетворяет интегральному уравнению
, так как в силу самого построения
функции
и
имеют одни и те же коэффициенты Фурье относительно полной системы
собственных функций ядра
. Таким образом, функции
и
тождественны в метрике
.
- Краснов М.Л. Интегральные уравнения, М., Наука, 1975.