Ряд Фурье

Результаты добавления членов ряда Фурье при аппроксимации разрывной кусочно-постоянной функции. Выбросы на фронтах обусловлены неравномерной сходимостью ряда Фурье в точках разрыва.

Ряд Фурье́ — представление функции $f$ с периодом $\tau$ в виде ряда

$f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum \limits _{k=1}^{+\infty }A_{k}\cos \left(k{\frac {2\pi }{\tau }}x+\theta _{k}\right)$

Этот ряд может быть также записан в виде

$f(x)=\sum \limits _{k=-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}_{k}e^{ik{\frac {2\pi }{\tau }}x},$

где

$A_{k}$ — амплитуда $k$-го гармонического колебания,

$k{\frac {2\pi }{\tau }}=k\omega$ — круговая частота гармонического колебания,

$\theta _{k}$ — начальная фаза $k$-го колебания,

${\hat {f}}_{k}$ — $k$-я комплексная амплитуда

В более общем виде, рядом Фурье элемента некоторого пространства функций называется разложение этого элемента по базису, состоящему из ортогональных функций. Существует множество систем ортогональных многочленов и других ортогональных функций (например, функции Уолша, Котельникова), по которым может быть произведено разложение функции в ряд Фурье.

Разложение функции в ряд Фурье является мощным инструментом при решении самых разных задач благодаря тому, что ряд Фурье прозрачным образом ведёт себя при дифференцировании, интегрировании, сдвиге функции по аргументу и свёртке функций.

Существуют многочисленные обобщения рядов Фурье в различных разделах математики. Например, любую функцию на конечной группе можно разложить в ряд, аналогичный ряду Фурье, по матричным элементам неприводимых представлений этой группы (теорема полноты).

Тригонометрический ряд Фурье

Тригонометрическим рядом Фурье функции $f\in {\mathcal {L}}([-\pi ,\pi ])$ (то есть функции, суммируемой на промежутке $([-\pi ,\pi ])$, или ее периодического продолжения на вещественную прямую) называют функциональный ряд вида

$f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx),$ (1)

где

$a_{0}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)dx,$

$a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos(nx)dx,$

$b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin(nx)dx,$

Числа $a_{0}$, $a_{n}$ и $b_{n}$ ($n=1,2,\ldots$) называются коэффициентами Фурье функции $f$. Формулы для них можно объяснить следующим образом. Предположим, что мы хотим представить функцию $f\in {\mathcal {L}}([-\pi ,\pi ])$ в виде ряда (1) и нам надо определить неизвестные коэффициенты $a_{0}$, $a_{n}$ и $b_{n}$. Если умножить правую часть (1) на $\cos(kx)$ и проинтегрировать по промежутку $[-\pi ,\pi ]$, то все слагаемые в правой части, благодаря ортогональности синусов и косинусов на этом промежутке, обратятся в нуль, кроме одного. Из полученного равенства легко выражается коэффициент $a_{k}$. Аналогично для $b_{k}$.

Ряд (1) для функции $f$ из пространства ${\mathcal {L}}_{2}([-\pi ,\pi ])$ сходится в этом пространстве. Иными словами, если обозначить через $S_{k}(x)$ частичные суммы ряда (1):

$S_{k}(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{k}(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx)$,

то их среднеквадратичное отклонение от функции $f$ будет стремиться к нулю:

$\lim \limits _{k\rightarrow \infty }\int \limits _{-\pi }^{\pi }(f(x)-S_{k}(x))^{2}dx=0$.

Несмотря на среднеквадратичную сходимость, ряд Фурье функции, вообще говоря, не обязан сходиться к ней поточечно.

Часто при работе с рядами Фурье бывает удобнее в качестве базиса использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента. Мы рассматриваем пространство ${\mathcal {L}}^{2}([-\pi ,\pi ],\mathbb {C} )$ комплекснозначных функций со скалярным произведением

$\langle f,g\rangle :=\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x){\overline {g(x)}}dx$.

Мы также рассматриваем систему функций

$\varphi _{k}(x)=e^{ikx}=\cos(kx)+i\sin(kx),k\in \mathbb {Z}$.

Как и прежде, эти функции являются попарно ортогональными и образуют полную систему, и, таким образом, любая функция $f\in {\mathcal {L}}^{2}([-\pi ,\pi ],\mathbb {C} )$ может быть разложена по ним в ряд Фурье:

$f(x)=\sum \limits _{k=-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}_{k}e^{ikx}$,

где ряд в правой части сходится к $f$ по норме в $L^{2}([-\pi ,\pi ],\mathbb {C} )$. Здесь

${\hat {f}}_{k}={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-ikx}dx$.

Коэффициенты ${\hat {f}}_{k}$ связаны с классическими коэффициентами Фурье следующими соотношениями:

${\hat {f}}_{k}=(a_{k}-ib_{k})/2,k>0$

${\hat {f}}_{0}=a_{0}/2$

${\hat {f}}_{k}=(a_{|k|}+ib_{|k|})/2,k<0$

$a_{k}={\hat {f}}_{k}+{\hat {f}}_{-k},k>0$

$b_{k}=i({\hat {f}}_{k}-{\hat {f}}_{-k}),k>0$

Для вещественнозначной функции коэффициенты ${\hat {f}}_{k}$ и ${\hat {f}}_{-k}$ комплексно сопряжены.

Обобщения

Ряды Фурье в гильбертовом пространстве

Описанную выше конструкцию можно обобщить со случая пространства $L^{2}[-\pi ,\pi ]$ с тригонометрической системой на произвольное гильбертово пространство. Пусть даны ортогональная система $\{\varphi _{1},\varphi _{2},...,\varphi _{n},...\}$ в гильбертовом пространстве $H$ и $f$ — произвольный элемент из $H$. Предположим, что мы хотим представить $f$ в виде (бесконечной) линейной комбинации элементов $\{\varphi _{k}\}$:

$f=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\varphi _{n}.$

Домножим это выражение на $\varphi _{k}$. С учётом ортогональности системы функций $\{\varphi _{k}\}$ все слагаемые ряда обращаются в ноль, кроме слагаемого при $n=k$:

$(f,\varphi _{k})=c_{k}\|\varphi _{k}\|^{2}.$

Числа

$c_{k}={\frac {(f,\varphi _{k})}{\|\varphi _{k}\|^{2}}}$

называются координатами, или коэффициентами Фурье элемента $f$ по системе $\{\varphi _{k}\}$, а ряд

$\sum _{k}c_{k}\varphi _{k}$

называется рядом Фурье элемента $f$ по ортогональной системе $\{\varphi _{k}\}$.

Ряд Фурье любого элемента $f$ по любой ортогональной системе сходится в пространстве $H$, но его сумма не обязательно равна $f$. Для ортонормированной системы ${\varphi _{k}}$ в сепарабельном гильбертовом пространстве следующие условия эквивалентны:

• система является базисом, то есть сумма ряда Фурье любого элемента равна этому элементу.
• система является полной, то есть в $H$ не существует ненулевого элемента, ортогонального всем элементам $\varphi _{1},\varphi _{2},...,\varphi _{n},...$ одновременно.
• система является замкнутой, то есть для любого $f\in H$ выполнено равенство Парсеваля

$\sum _{k=1}^{\infty }|c_{k}|^{2}=\|f\|^{2}$.

• линейные комбинации элементов $\varphi _{1},\varphi _{2},...,\varphi _{n},...$ плотны в пространстве $H$.

Если эти условия не выполняются, то сумма ряда Фурье элемента $f$ равна его ортогональной проекции на замыкание линейной оболочки элементов $\varphi _{1},\varphi _{2},...,\varphi _{n},...$. В этом случае вместо равенства Парсеваля справедливо неравенство Бесселя:

$\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}^{2}\leqslant \|f\|^{2}.$

Примеры  

Тригонометрические функции $\sin(kx)$, $\cos(kx)$ образуют базис гильбертова пространства $L_{2}[-\pi ,\pi ]$. Если мы рассмотрим только косинусы или только синусы, то такая система больше не будет полной. Замыкание линейной оболочки функций $\cos(kx)$ - это все четные функции из $L_{2}$, а замыкание линейной оболочки функций $\sin(kx)$ - все нечетные функции. Результатом разложения функции $f$ в ряды Фурье по этим системам будут соответственно четная и нечетная части функции $f$:

$\sum \limits _{0}^{n}a_{k}\cos(kx)={\frac {f(x)+f(-x)}{2}},$

$\sum \limits _{1}^{n}b_{k}\sin(kx)={\frac {f(x)-f(-x)}{2}}.$

Еще более интересная ситуация возникает при рассмотрении системы $\{e^{ikx}\}_{k=0}^{+\infty }$. Эта система вновь не будет полной. Замыкание её линейной оболочки — пространство Харди $H_{2}$. Элементы этого пространства -- те и только те функции $f\in L_{2}$, которые имеют вид $f(t)=g(e^{it})$, где $g$ — граничные значения некоторой функции, аналитической в круге $|z|<1.$

Двойственность Понтрягина

При обобщении теории рядов Фурье на случай гильбертовых пространств теряются свойства, выражающие связь рядов Фурье со сверткой — то, что коэффициенты Фурье свертки функций являются почленными произведениями их коэффициентов Фурье, и наоборот, коэффициенты Фурье произведения представляются сверткой коэффициентов Фурье сомножителей. Эти свойства являются ключевыми для приложений теории Фурье к решению дифференциальных, интегральных и других функциональных уравнений. Поэтому большой интерес представляют такие обобщения теории рядов Фурье, при которых эти свойства сохраняются. Таким обобщением является теория двойственности Понтрягина. Она рассматривает функции, заданные на локально-компактных абелевых группах. Аналогом ряда Фурье такой функции будет функция, заданная на двойственной группе.

Сходимость ряда Фурье

Сходимость ряда Фурье

Обзор результатов о сходимости ряда Фурье

Обозначим через $S_{N}(f,x)$ частичные суммы ряда Фурье функции $f(x)$:

$S_{N}(f,x):=\sum \limits _{k=-N}^{N}{\hat {f}}_{k}e^{ikx}$.

Далее обсуждается сходимость последовательности функций $S_{N}(f,x)$ к функции $f(x)$ в различных смыслах. Функция $f$ предполагается $2\pi$-периодической (если она задана только на промежутке $[-\pi ,\pi ]$, её можно периодически продолжить).

• Если $f\in L_{2}([-\pi ,\pi ])$, то последовательность $S_{N}(f,x)$ сходится к функции $f(x)$ в смысле $L_{2}$. Кроме того, $S_{N}(f,x)$ являются наилучшим (в смысле расстояния в $L_{2}$) приближением функции $f$ тригонометрическим многочленом степени не выше $N$.
• Сходимость ряда Фурье в заданной точке $x_{0}$ — локальное свойство, то есть, если функции $f$ и $g$ совпадают в некоторой окрестности $x_{0}$, то последовательности $S_{N}(f,x_{0})$ и $S_{N}(g,x_{0})$ либо одновременно расходятся, либо одновременно сходятся, и в этом случае их пределы совпадают. ( Принцип локализации )
• Если функция $f$ дифференцируема в точке $x_{0}$, то её ряд Фурье в этой точке сходится к $f(x_{0})$. Более точные достаточные условия в терминах гладкости функции $f$ задаются признаком Дини.
• Функция, непрерывная в точке $x_{0}$, может иметь расходящийся в ней ряд Фурье. Однако, если он сходится, то непременно к $f(x_{0})$. Это следует из того, что для непрерывной в $x_{0}$ функции $f$ последовательность $S_{N}(f,x_{0})$ сходится по Чезаро к $f(x_{0})$.
• Если функция $f$ разрывна в точке $x_{0}$, но имеет пределы в этой точке справа и слева $f(x_{0}+0)\neq f(x_{0}-0),$ то при некоторых дополнительных условиях $S_{N}(f,x_{0})$ сходятся к $(f(x_{0}+0)+f(x_{0}-0))/2$. Подробнее см. модифицированный признак Дини.
• Теорема Карлесона: если $f\in L_{2}([-\pi ,\pi ])$, то её ряд Фурье сходится к ней почти всюду. Это верно и если $f\in L_{p}([-\pi ,\pi ]),p>1$. Однако, существуют функции из $L_{1}([-\pi ,\pi ])$, ряд Фурье которых расходится во всех точках (пример такой функции построен Колмогоровым).
• Зафиксируем точку $x_{0}\in (-\pi ,\pi )$. Тогда множество всех непрерывных функций, ряд Фурье которых сходится в этой точке, является множеством первой категории в пространстве $C([-\pi ,\pi ])$. В некотором смысле это означает, что «типичная» непрерывная функция имеет расходящийся ряд Фурье.

Убывание коэффициентов Фурье и аналитичность функции

Существует фундаментальная связь между аналитичностью функции и скоростью убывания её коэффициентов Фурье. Чем «лучше» функция, тем быстрее её коэффициенты стремятся к нулю, и наоборот. Степенное убывание коэффициентов Фурье присуще функциям класса $C^{(k)}$, а экспоненциальное — аналитическим функциям. Примеры такого рода связи:

• Коэффициенты Фурье любой интегрируемой функции стремятся к нулю (лемма Римана — Лебега).
• Если функция $f$ принадлежит классу $C^{(k)}([-\pi ,\pi ])$, то есть дифференцируема $k$ раз и её $k$-я производная непрерывна, то ${\hat {f}}_{n}=o\left({\frac {1}{n^{k}}}\right)$
• Если ряд $\sum n^{\alpha }{\hat {f}}_{n}$ сходится абсолютно, то $f$ совпадает почти всюду с функцией класса $C^{(k)}([-\pi ,\pi ])$ при всех $k<\alpha$.
• Если функция принадлежит классу Гёльдера с показателем $\alpha >1/2$, то ряд $\sum {\hat {f}}_{n}$ сходится абсолютно (теорема Бернштейна).
• Если ${\hat {f}}_{n}=O(a^{n}),0<a<1$, то функция $f$ совпадает почти всюду с аналитической. Верно и обратное.

См. также

• Преобразование Фурье
• Быстрое преобразование Фурье
• Тригонометрический ряд
• Признак Жордана
• Признак Дини
• Числовой ряд
• АТС теорема
• Гармонический ряд звуков
• Явление Гиббса

Литература

• Жук В.В., Натансон Г.И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. — 188 с.
• Рудин У. Основы математического анализа. — 1976.
• Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов. — М.: «Наука», 1964. — Т. 2.
• Зигмунд А. Тригонометрические ряды. — М.: «Мир», 1965. — Т. 1.