Интегральное уравнение Фредгольма

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Интегральное уравнение Фре́дгольма[1] — интегральное уравнение, ядром которого является ядро Фредгольма. Названо по имени шведского математика Ивара Фредгольма. Со временем исследование уравнения Фредгольма выросло в самостоятельный раздел функционального анализа — теорию Фредгольма, которая изучает ядра Фредгольма и операторы Фредгольма.

Общая теория[править | править код]

Общая теория, основанная на уравнениях Фредгольма, известна как теория Фредгольма. В теории рассматривается интегральное преобразование специального вида

где функция называется ядром уравнения, а оператор , определяемый как

, называется оператором (или интегралом) Фредгольма.

Одним из основополагающих результатов является факт, что ядро K есть компактный оператор, известный иначе как оператор Фредгольма. Компактность может быть показана с помощью равномерной непрерывности. Как к оператору, к ядру может быть приложена спектральная теория, изучающая спектр собственных значений.

Уравнение первого рода[править | править код]

Неоднородное уравнение Фредгольма первого рода имеет вид:

а задача состоит в том, что при заданной непрерывной функции ядра и функции найти функцию .

Если ядро является функцией разности своих аргументов, то есть , и пределы интегрирования , тогда правая часть уравнения может быть переписана в виде свёртки функций и , а, следовательно, решение даётся формулой

где и  — прямое и обратное преобразования Фурье соответственно. Необходимые и достаточные условия существования решения определяет теорема Пикара.

Уравнение второго рода[править | править код]

Неоднородное уравнение Фредгольма второго рода выглядит так:

.

Задача состоит в том, чтобы, имея ядро и функцию , найти функцию . При этом существование решения и его множественность зависит от числа , называемого характеристическим числом (обратное ему называется собственным). Стандартный подход решения использует понятие резольвенты; записанное в виде ряда решение известно как ряд Лиувилля — Неймана.

Примечания[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Рекомендуемая литература[править | править код]

А. Д. Полянин, А. В. Манжиров. Справочник по интегральным уравнениям. Москва, Физматлит, 2003.