Гипотеза ван дер Вардена

Гипотеза ван дер Вардена — доказанная математическая гипотеза о свойстве значений перманента дважды стохастической матрицы $S$ порядка $n$:

$\mathrm {per} (S)\geqslant {\frac {n!}{n^{n}}}$,

причём равенство выполняется в том и только том случае, когда все элементы матрицы $S$ равны $1/n$.

Высказана ван дер Варденом в 1926 году; на её доказательства многие годы были направлены усилия специалистов: гипотеза непосредственно проверена для $n\leqslant 5$, в 1959 году доказано, что если перманент на множестве всех дважды стохастических $n$-матриц достигает на некоторой матрице без нулевых элементов минимума, то он равен $n!/n^{n}$. Полностью доказана советскими математиками Георгием Егорычевым в 1980 году (с применением неравенства Александрова — Фенхеля о смешанном объёме) и независимо Дмитрием Фаликманом в 1981 году (также с использованием геометрических методов, работа представлена к публикации в 1979 году); за эти результаты оба учёных удостоены в 1982 году премии Фалкерсона.

Литература

• Минк Х. Перманенты. — М.: Мир, 1982. — 211 с.