Смешанный объём — числовая характеристика набора из
выпуклых тел в
-мерном евклидовом пространстве.
Смешанный объём набора
обычно обозначается
.
Пусть
набор из
выпуклых тел в
и
положительные вещественные числа.
Обозначим через
объём тела
![{\displaystyle \lambda _{1}\cdot K_{1}+\lambda _{2}\cdot K_{2}+\dots +\lambda _{n}\cdot K_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35faf18854958b142be8ee6d1ccbc38e1e2e6cc7)
где «
» обозначает сумму Минковского и
![{\displaystyle \lambda _{i}\cdot K_{i}=\{\,\lambda \cdot x\mid x\in K_{i}\,\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/520460add916aa1f73e26792e386a890da6fa9ce)
Функция
является однородным многочленом степени
. Коэффициент этого многочлена при
по определению равен
.
Заметим, что
![{\displaystyle v(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n})=\sum _{i_{1},\dots ,i_{n}=1}^{n}V(K_{i_{1}},K_{i_{2}},\dots ,K_{i_{n}})\cdot \lambda _{i_{1}}\cdot \lambda _{i_{2}}\cdot \dots \cdot \lambda _{i_{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dffa900a496e826aea67d1230c6dc995c3976726)
- Для произвольных неотрицательных чисел
,
![{\displaystyle V(\lambda _{1}\cdot K_{1},\lambda _{2}\cdot K_{2},\dots ,\lambda _{n}\cdot K_{n})=\lambda _{1}\cdot \lambda _{2}\cdot \dots \cdot \lambda _{n}\cdot V(K_{1},K_{2},\dots ,K_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af443654d8e7cdc2e21050fd8c4411dc66bc4ec8)
- Смешанный объём инвариантен относительно параллельных переносов тел в наборе.
- Смешанный объём монотонен по включению тел.
- Смешанный объём непрерывен относительно метрики Хаусдорфа.
- Смешанный объём неотрицателен.
- Более того,
тогда и только тогда, когда в каждом
можно провести по отрезку так, чтобы эти отрезки были линейно независимы.
- Для неотрицательного целого
смешанный объём
копий выпуклого тела
в
и
копий единичного шара выражается через
-тую среднюю поперечную меру
. В частности
- Смешанный объём набора из
копий
равен обычному объёму
.
- Смешанный объём набора из
копий
и единичного шара равен
площади поверхности
.
- Типичное число решений системы полиномиальных уравнений
равно смешанному объёму многогранников Ньютона
.
- неравенство Минковского
![{\displaystyle V^{n}(K,L,\dots ,L)\geq V(K)\cdot V^{n-1}(L)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c2897f3e910c96f0a822494f1c6d5cc5fa568b5)
- неравенство Александрова — Фенхеля
![{\displaystyle V(K_{1},K_{2},K_{3},\ldots ,K_{n})\geq {\sqrt {V(K_{1},K_{1},K_{3},\ldots ,K_{n})\cdot V(K_{2},K_{2},K_{3},\ldots ,K_{n})}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1000d194e16c9d85d7b6d55a3f0ed8e3cc8daf3b)