Смешанный объём

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Смешанный объём — числовая характеристика набора из выпуклых тел в -мерном Евклидовом пространстве.

Смешанный объём набора обычно обозначается

.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть набор из выпуклых тел в и положительные вещественные числа. Обозначим через объём тела

где «» обозначает сумму Минковского и

Функция является однородным многочленом степени . Коэффициент этого многочлена при по определению равен .

Заметим, что

Свойства[править | править вики-текст]

  • Для произвольных неотрицательных чисел ,
  • Смешанный объём инвариантен относительно параллельных переносов тел в наборе.
  • Смешанный объём монотонен по включению тел.
  • Смешанный объём непрерывен относительно метрики Хаусдорфа.
  • Смешанный объём неотрицателен.
    • Более того, тогда и только тогда, когда в каждом можно провести по отрезку так, чтобы эти отрезки были линейно независимы.
  • Для неотрицательного целого смешанный объём копий выпуклого тела в и копий единичного шара выражается через -тую среднюю поперечную меру . В частности
    • Смешанный объём набора из копий равен обычному объёму .
    • Смешанный объём набора из копий и единичного шара равен площади поверхности .
  • Типичное число решений системы полиномиальных уравнений равно смешанному объёму многогранников Ньютона .
  • неравенство Минковского
  • неравенство Александрова — Фенхеля

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]