Задача Буземана — Петти

Задача Буземана — Петти — вопрос выпуклой геометрии, сформулированный Буземаном и Петти в 1956 году.

Правда ли, что симметричное выпуклое тело с бо́льшими центральными сечениями гиперплоскостями имеет бо́льший объём?

Ответ положительный в размерностях $\leq 4$, и отрицательный в размерностях $\geq 5$.

Задача знаменита тем, что в размерности $4$, был дан сначала (неправильный) отрицательный ответ, a через несколько лет положительный. При этом обе статьи были опубликованы одним и тем же автором в одном из самых престижных математических журналов, Annals of Mathematics.

Формулировка

Пусть $K_{1}$ и $K_{2}$ — выпуклые тела в $n$-мерном евклидовом пространстве с общим центром симметрии такие, что

$\mathrm {Vol} _{n-1}\,(K_{1}\cap A)\leq \mathrm {Vol} _{n-1}\,(K_{2}\cap A)$

для каждой гиперплоскости $A$, проходящей через центр симметрии. Верно ли, что

$\mathrm {Vol} _{n}\,K_{1}\leq \mathrm {Vol} _{n}\,K_{2}\ ?$

История

• В размерности 2 задача тривиальна, ответ положительный.
• 1956 Буземан и Петти показали, что ответ будет положительным, если первое тело является шаром.
• 1975 Лармен и Роджерс построили контрпример в размерностях $\geq 12$.
• 1986, Кит Болл доказал, что взяв куб как первое тело и подходящий шар как второе, получаем контрпример в размерностях $\geq 10$.
• 1988, Лютвак показал что ответ на задачу в данной размерности положителен тогда и только тогда, когда все симметричные выпуклые тела в этой размерности являются телами сечений.
• Джиэннопулос и Бурген независимо построили контрпримеры в размерностях $\geq 7$.
• Пэпэдимитракис и Гарднер независимо построили контрпримеры в размерностях 5 и 6.
• 1994 Гарднер дал положительный ответ в размерности $3$.
• 1994 Гаоюн Чжан опубликовал работу (в Annals of Mathematics), в которой в частности утверждал, что в размерности $4$ ответ отрицательный.
• 1997 Александр Колдобский опроверг утверждение Гаоюн Чжана.
• 1999 После изучения, результатов Колдобского, Чжан быстро доказал, что на самом деле в размерности $4$ ответ утвердительный. Эта более поздняя работа была также опубликована в Annals of Mathematics.

Вариации и обобщения

• Теорема единственности Минковского утверждает, что если два симметричных выпуклых тела имеют равновеликие сечения любой гиперплоскостью, проходящий через их общий центр, то эти два тела равны.
• Задача Шепарда — аналогичная задача, в которой вместо сечений, рассматриваются проекции на все возможные гиперплоскости.

Ссылки

• Ball, Keith (1988), "Some remarks on the geometry of convex sets", Geometric aspects of functional analysis (1986/87), Lecture Notes in Math., vol. 1317, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 224—231, doi:10.1007/BFb0081743, ISBN 978-3-540-19353-1, MR 0950983
• Busemann, Herbert; Petty, Clinton Myers (1956), "Problems on convex bodies", Mathematica Scandinavica, 4: 88—94, ISSN 0025-5521, MR 0084791
• Gardner, Richard J. (1994), "A positive answer to the Busemann-Petty problem in three dimensions", Annals of Mathematics. Second Series, 140 (2): 435—447, doi:10.2307/2118606, ISSN 0003-486X, JSTOR 2118606, MR 1298719
• Gardner, Richard J.; Koldobsky, A.; Schlumprecht, T. (1999), "An analytic solution to the Busemann-Petty problem on sections of convex bodies", Annals of Mathematics. Second Series, 149 (2): 691—703, doi:10.2307/120978, ISSN 0003-486X, MR 1689343
• Koldobsky, Alexander (1998a), "Intersection bodies, positive definite distributions, and the Busemann-Petty problem" (PDF), American Journal of Mathematics, 120 (4): 827—840, doi:10.1353/ajm.1998.0030, ISSN 0002-9327, MR 1637955
• Koldobsky, Alexander (1998b), "Intersection bodies in R⁴", Advances in Mathematics, 136 (1): 1—14, doi:10.1006/aima.1998.1718, ISSN 0001-8708, MR 1623669
• Koldobsky, Alexander (2005), Fourier analysis in convex geometry, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 116, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3787-0, MR 2132704
• Larman, D. G.; Rogers, C. A. (1975), "The existence of a centrally symmetric convex body with central sections that are unexpectedly small", Mathematika. A Journal of Pure and Applied Mathematics, 22 (2): 164—175, doi:10.1112/S0025579300006033, ISSN 0025-5793, MR 0390914
• Lutwak, Erwin (1988), "Intersection bodies and dual mixed volumes", Advances in Mathematics, 71 (2): 232—261, doi:10.1016/0001-8708(88)90077-1, ISSN 0001-8708, MR 0963487
• Zhang, Gao Yong (1994), "Intersection bodies and the Busemann-Petty inequalities in R⁴", Annals of Mathematics. Second Series, 140 (2): 331—346, doi:10.2307/2118603, ISSN 0003-486X, JSTOR 2118603, MR 1298716, The result in this paper is wrong; see the author's 1999 correction.
• Zhang, Gaoyong (1999), "A positive solution to the Busemann-Petty problem in R⁴", Annals of Mathematics. Second Series, 149 (2): 535—543, doi:10.2307/120974, ISSN 0003-486X, JSTOR 120974, MR 1689339