Изогения

Изогения — это морфизм алгебраических групп, являющийся сюръективным и имеющий конечное ядро.

Если группами служат абелевы многообразия, то любой морфизм $f:A\rightarrow B$ лежащего в основе алгебраического многообразия, являющегося сюръективным с конечными слоями, автоматически является изогенией, обеспечивая $f(1_{A})=1_{B}$. Такая изогения f даёт гомоморфизм групп между группами k-значных точек многообразий A и B для любого поля k, над которым f определено.

Термины «изогения» и «изогенный» происходят от греческого слова ισογενη-ς, означающего «равный в некотором смысле». Термин «изогения» ввёл Андре Вейль, до этого вместо термина «изогения» использовался запутывающий термин «изоморфизм».

Случай абелевых многообразий

Изогенные эллиптические кривые к многообразию E можно получить факторизцией E по конечным подгруппам, которые представлены как подгруппы 4-кручения

Для абелевых многообразий, таких как эллиптические кривые, это понятие можно сформулировать следующим образом:

Пусть E₁ и E₂ — абелевы многообразия одинаковой размерности над полем k. Изогения между E₁ и E₂ — это плотный морфизм $f:E_{1}\to E_{2}$ многообразий, сохраняющий базовые точки (то есть f отображает единицу на E₁ и единицу на E₂).

Это эквивалентно вышеприведённому понятию, поскольку любой плотный морфизм между двумя абелевыми многообразиями одной и той же размерности является автоматически сюръективным и имеет конечные слои, а если он сохраняет единицы, то он является гомоморфизмом групп.

Два абелевых многообразия E₁ и E₂ называются изогенными, если существует изогения $E_{1}\to E_{2}$. Это соотношение эквивалентности, симметричное ввиду существования двойственной изогении. Как и выше, любая изогения индуцирует гомоморфизм групп k-значных точек абелевых многообразий.