Интеграл Якоби

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В небесной механике интеграл Якоби является единственной известной сохраняющейся величиной в рамках ограниченной круговой задачи трёх тел.[1] В отличие от задачи двух тел, энергия и момент системы не сохраняются по отдельности и общее аналитическое решение получить не удается. Интеграл Якоби используется для получения численного решения в отдельных случаях.

Определение

[править | править код]

Синодическая система

[править | править код]
Синодическая система координат

Одной из удобных систем координат является так называемая синодическая система с началом координат в барицентре, при этом линия, соединяющая массы μ1 и μ2, выбрана в качестве оси x, а расстояние между ними выбрано в качестве единицы расстояния. Поскольку система вращается вместе с телами, то они остаются неподвижными и расположенными в точках с координатами (−μ2, 0) и (+μ1, 0)1.

В системе координат (xy) постоянная Якоби имеет вид

где:

Заметим, что интеграл Якоби равен минус удвоенной полной энергии в расчёте на единицу массы во вращающейся системе отсчёта: первое слагаемое относится к центробежной потенциальной энергии, второе относится к гравитационному потенциалу, третье — кинетическая энергия. В данной системе отсчёта силы, действующие на частицу, включают две гравитационные силы со стороны тел, центробежную силу и силу Кориолиса. Поскольку первые три силы можно выразить через потенциалы, а последняя перпендикулярна траектории, все они консервативны, поэтому энергия, измеряемая в данной системе энергия (следовательно, и интеграл Якоби), сохраняется.

Сидерическая система

[править | править код]
Инерциальная система.

В инерциальной (сидерической) системе отсчёта (ξηζ) массы вращаются вокруг барицентра. В данной системе координат постоянная Якоби имеет вид

В синодической системе ускорения можно представить в виде производных от скалярной функции

Рассмотрим уравнения Лагранжа для движения тела:

После умножения уравнений на и соответственно и сложения всех трёх выражений получим равенство

После интегрирования получим выражение

где CJ — постоянная интегрирования.

Левая часть равенства является квадратом скорости v пробной частицы в синодической системе отсчёта.

1Данная система координат является неинерциальной, что объясняет появление слагаемых, связанных с центробежной силой и силой Кориолиса.

Примечания

[править | править код]
  1. Bibliothèque nationale de France Архивная копия от 2 февраля 2017 на Wayback Machine. Jacobi, Carl G. J. Sur le movement d'un point et sur un cas particulier du problème des trois corps (фр.) // Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris[англ.] : magazine. — 1836. — Vol. 3. — P. 59—61.

Литература

[править | править код]
  • Carl D. Murray and Stanley F. Dermot Solar System Dynamics [Cambridge, England: Cambridge University Press, 1999], pages 68–71. (ISBN 0-521-57597-4)