Барицентр

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Центроид треугольника

В математике и физике барице́нтр или геометри́ческий центр двумерной области — это среднее арифметическое положений всех точек фигуры. Определение распространяется на любой объект в n-мерном пространстве — барицентр является средним положением всех точек фигуры по всем координатным направлениям. Неформально — это точка равновесия фигуры, вырезанной из картона в предположении, что картон имеет постоянную плотность и гравитационное поле постоянно по величине и направлению.

В физике термин «барицентр» может означать центр масс или центр тяжести в зависимости от контекста. Центр масс (и центр тяжести в постоянном гравитационном поле) является средним арифметическим всех точек с учётом локальной плотности или удельного веса. Если физический объект имеет постоянную плотность, то его центр масс совпадает с барицентром фигуры той же формы.

Свойства[править | править вики-текст]

Геометрический барицентр выпуклого объекта всегда лежит внутри объекта. Невыпуклый объект может иметь барицентр, лежащий вне фигуры. Барицентр кольца или миски, например, лежат вне фигуры.

Если барицентр известен, он является фиксированной точкой группы изометрии симметрий фигуры. Барицентр объекта лежит на пересечении всех его гиперплоскостей симметрии. Барицентры многих фигур (правильный многоугольник, правильный многогранник, цилиндр, прямоугольник, ромб, окружность, сфера, эллипс, эллипсоид, суперэллипс, суперэллипсоид, и т. д.) можно найти исходя исключительно из этого принципа.

В частности, барицентром параллелограмма является пересечение диагоналей. Вообще говоря, это неверно для других четырёхугольников.

По те же самым причинам барицентр объекта с трансляционной симметрией не определён (или лежит вне пространства фигуры), поскольку сдвиг не имеет фиксированной точки.

Центроид треугольника[править | править вики-текст]

  • Если в вершины треугольника поместить равные массы, то центр масс (барицентр) полученной системы будет совпадать с центроидом. Более того, центр масс треугольника с равномерно распределённой массой также находится в центроиде.
    • В частности, если  — центроид треугольника то для любой точки O верно, что
      .
  • Пусть M — любая точка на плоскости, на которой лежит треугольник с вершинами A, B и C и пусть G — центроид этого треугольника, тогда сумма квадратов расстояний от M до трёх вершин треугольника равна сумме квадратов расстояний от центроида G до вершин треугольника плюс утроенное расстояние между M и G:
[3].
  • Сумма квадратов сторон треугольника равна утроенной сумме квадратов расстояний от центроида до вершин треугольника:
[3].

Центроид четырёхугольника[править | править вики-текст]

Центроид (барицентр или центр масс) произвольного четырёхугольника лежит в точке пересечения средних линий четырёхугольника и отрезка, соединяющего середины диагоналей, и делит все три отрезка пополам.

Четыре отрезка, каждый из которых соединяет вершину четырёхугольника с центроидом треугольника, образованного оставшимися тремя вершинами, пересекаются в центроиде четырёхугольника и делятся им в отношении 3:1, считая от вершины

.

Определение местоположения барицентра[править | править вики-текст]

Метод отвеса[править | править вики-текст]

Барицентр однородной плоской фигуры, такой как (a) на рисунке ниже, можно найти экспериментально с использованием отвеса и булавки путём нахождения центра масс тонкой пластины однородной плотности, имеющей ту же форму. Пластина удерживается булавкой, вставленной ближе к периметру так, чтобы пластина могла свободно вращаться. Отмечаем на пластине прямую, которую образует отвес, прикреплённый к булавке (b). Проделываем то же самое с другим положением булавки. Пересечение двух прямых даст барицентр (c)

Center gravity 0.svg
Center gravity 1.svg
Center gravity 2.svg
(a) (b) (c)

Этот метод можно распространить (в теории) на вогнутые фигуры, когда барицентр лежит вне их, а также тела (постоянной плотности), но положение линии отвеса придётся отмечать каким-то иным способом.

Метод балансировки[править | править вики-текст]

Барицентр выпуклой двумерной фигуры можно найти путём балансировки на меньшей фигуре, например на вершине узкого цилиндра. Барицентр будет находиться где-то внутри области контакта этих фигур. В принципе, последовательным уменьшением диаметра цилиндра можно получить местоположение барицентра с любой точностью. На практике потоки воздуха делают это невозможным, однако используя наложение областей балансировки и усреднение, можно получить нужную точность.

Случай конечного множества точек[править | править вики-текст]

Барицентр конечного множества из точек в находится по формуле

[5].

Эта точка минимизирует сумму квадратов расстояний между ней и точками множества.

С помощью геометрического разложения[править | править вики-текст]

(a) Фигура на плоскости
(b) Разложение фигуры на простые элементы
(c) Барицентры элементов объекта

Барицентр плоской фигуры можно вычислить, разделив её на конечное число более простых фигур , найдя положение барицентров и площадей каждой части, а затем вычислив

Дыры в фигуре , наложения частей, или части, выступающие за фигуру, можно рассматривать как фигуры с отрицательной площадью . А именно, знак площади нужно выбирать так, чтобы сумма знаков для всех частей, включающих точку , была равна 1, если принадлежит , и 0 в противном случае.

Например, фигуру (a) на рисунке справа легко разделить на квадрат и треугольник с положительным знаком и круглое отверстие с отрицательным (b).

Барицентр каждой части легко найти в любом списке барицентров простых фигур (c). Затем вычисляется барицентр фигуры, как средневзвешенное трёх точек. Горизонтальное положение барицентра, считая от левого края фигуры, равно

Вертикальное положение вычисляется аналогично.

Та же формула применима для любого трёхмерного объекта, только обозначают уже объёмы частей тела , а не площади. Формула верна также для пространства любой размерности при замене площади -мерными мерами частей.

Интегрированием[править | править вики-текст]

Барицентр подмножества X пространства можно вычислить с помощью интеграла

где интегрирование ведётся по всему пространству , а g является характеристической функцией подмножества, принимающей 1 внутри X и 0 вне его[6]. Заметим, что знаменатель равен просто мере множества X. Формула неприменима к множеству нулевой меры, а также к множествам, для которых интеграл расходится.

Другая формула для барицентра

где Gk является k-й координатой G, а Sk(z) — мера пересечения X с гиперплоскостью, определяемой уравнением xk = z. Снова знаменатель — это просто мера множества X.

Для плоской фигуры координатами барицентра будут

где A — площадь фигуры X, Sy(x) — длина пересечения X с вертикальной прямой с абциссой x, Sx(y) — аналогичная величина при обмене осей.

Для ограниченной области[править | править вики-текст]

Координаты барицентра области, ограниченной графиками непрерывных функций и , таких что на интервале , , задаются выражениями

[6].
[7].

где  — площадь области (вычисляется по формуле )[8][9].

Объекта в форме буквы L[править | править вики-текст]

Метод нахождения барицентра фигуры, имеющей форму буквы L.

CoG of L shape.svg

  1. Делим фигуру на два прямоугольника как показано на fig 2. Находим барицентры этих двух прямоугольников как пересечение диагоналей. Рисуем отрезок, соединяющую барицентры. Барицентр фигуры должен лежать на этом отрезке AB.
  2. Делим фигуру на два прямоугольника другим способом (fig 3). Находим барицентры этих двух прямоугольников. Проводим отрезок, соединяющий центры. Барицентр фигуры должен лежать на отрезке CD.
  3. Поскольку барицентр должен лежать как на отрезке AB, так и на отрезке CD, очевидно, что он является точкой пересечения этих двух отрезков — точкой O. Точка O не обязана лежать внутри фигуры.

Треугольника и тетраэдра[править | править вики-текст]

Triangle centroid 1.svg Triangle centroid 2.svg

Барицентр треугольника совпадает с пересечением медиан. Барицентр разбивает каждую медиану в отношении 2:1, то есть барицентр находится на расстоянии ⅓ от стороны до противоположной вершины (см. рисунок). Его декартовыми координатами является среднее координат трёх вершин. То есть, если вершинами треугольника являются и то барицентр вычисляется по формуле

Таким образом, барицентр имеет барицентрические координаты .

В трилинейных координатах барицентр можно получить одним из эквивалентных способов:[10]

Барицентр является также физически центром масс треугольника, сделанного из однородного листового материала, а также если вся масса сконцентрирована в вершинах и одинаково разделена между ними. Если же масса распределена равномерно вдоль периметра, то центр масс лежит в точке Шпикера (инцентр серединного треугольника), который (в общем случае) не совпадает с центроидом всего треугольника.

Площадь треугольника равна 1.5 длины любой стороны, умноженной на расстояние от центроида до стороны [11].

Центроид треугольника лежит на прямой Эйлера между его ортоцентром H и центром его описанной окружности O, ровно вдвое ближе ко второму, чем к первому:

Кроме того, для инцентра I и центра девяти точек N, мы имеем

Аналогичными свойствами обладает тетраэдр — его барицентр является пересечением отрезков, соединяющих вершины с барицентрами противоположных граней. Эти отрезки делятся барицентром в отношении 3:1. Результат обобщается на любой n-мерный симплекс очевидным способом. Если вершины симплекса обозначить и рассматривать вершины как вектора, центроид равен

Геометрический барицентр совпадает с центром масс, если масса равномерно распределена по всему симплексу или сконцентрирована в вершинах как n-равных масс.

Изогональным сопряжением центроида треугольника является точка пересечения его симедиан.

Барицентр многоугольника[править | править вики-текст]

Барицентром самонепересекающегося замкнутого многоугольника, заданного n вершинами (x0,y0), (x1,y1), …, (xn−1,yn−1) является точка (Gx, Gy), где

и где A является площадью многоугольника (со знаком),

[12].

В этой формуле предполагается, что вершины пронумерованы вдоль периметра многоугольника. Коме того, вершина (xn, yn) считается той же самой, что и (x0, y0). Заметим, что если точки пронумерованы по часовой стрелке, площадь A, вычисленная выше, будет отрицательной, но координаты барицентра подкорректируют этот случай.

Барицентр конуса и пирамиды[править | править вики-текст]

Барицентр конуса или пирамиды расположен на отрезке, соединяющем вершину тела с барицентром основания. Для целого конуса или пирамиды барицентр находится на расстоянии 1/4 от основания к вершине. Для поверхности конуса или пирамиды (боковая поверхность без внутренности и без основания) центроид находится на 1/3 расстояния от основания до вершины.

Тетраэдр[править | править вики-текст]

Тетраэдр является телом в трёхмерном пространстве, имеющим четыре треугольника в качестве граней. Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с барицентром противоположной грани, называется медианой, а отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон, называется бимедианой. Таким образом, имеется четыре медианы и две бимедианы. Эти шесть отрезков пересекаются в барицентре тетраэдра[13]. Барицентр тетраэдра лежит посередине между точкой Монжа и центром описанной сферы. Эти точки задают прямую Эйлера тетраэдра, являющуюся аналогом прямой Эйлера треугольника.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Altshiller-Court, 1925, с. 101.
  2. Kay, 1969, с. 18,189,225–226.
  3. 1 2 Altshiller-Court, 1925, с. 70–71.
  4. Зетель, 1962.
  5. Protter, Morrey, 1970, с. 520.
  6. 1 2 Protter, Morrey, 1970, с. 526.
  7. Protter, Morrey, 1970, с. 527.
  8. Protter, Morrey, 1970.
  9. Larson, Hostetler, Edwards, 1998, с. 458–460.
  10. Encyclopedia of Triangle Centers by Clark Kimberling. The centroid is indexed as X(2).
  11. Johnson, 2007, с. 173.
  12. Bourke, 1997.
  13. Kam-tim, Suk-nam, 1994, с. 53–54.

Литература[править | править вики-текст]

  • Зетель, С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. — 2-е изд/. — М. : Учпедгиз, 1962. — С. 12.
  • Leung Kam-tim, Suen Suk-nam. Vectors, matrices and geometry. — Hong Kong University Press, 1994.
  • Nathan Altshiller-Court. College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. — 2nd. — New York: Barnes & Noble, 1925.
  • Paul Bourke Calculating the area and centroid of a polygon. — 1997.
  • Roger A. Johnson. Advanced Euclidean Geometry. — Dover, 2007.
  • David C. Kay. College Geometry. — New York: Holt, Rinehart and Winston, 1969.
  • Roland E. Larson, Robert P. Hostetler, Bruce H. Edwards. Calculus of a Single Variable. — 6th. — Houghton Mifflin Company, 1998.
  • Murray H. Protter, Charles B. Morrey Jr. College Calculus with Analytic Geometry. — 2nd. — Reading: Addison-Wesley, 1970.

Ссылки[править | править вики-текст]