Метод Лагранжа — метод приведения квадратичной формы к каноническому виду, указанный в 1759 году Лагранжем.
Данный метод состоит в последовательном выделении в квадратичной форме полных квадратов. Пусть задана квадратичная форма:
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39a5dc7b55842d94c271c773cf3625e06971b818)
В силу симметричности матрицы
квадратичную форму можно переписать следующим образом:
![{\displaystyle {\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}}={\sum _{i=1}^{n}({a_{ii}{x_{i}}^{2}+\sum _{j=i+1}^{n}{2a_{ij}x_{i}x_{j}}})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23b8c19e3d137be13d84047c7d0e69f64b4d9e98)
Возможны два случая:
- хотя бы один из коэффициентов
при квадратах отличен от нуля. Не нарушая общности, будем считать
(этого всегда можно добиться соответствующей перенумерацией переменных);
- все коэффициенты
, но есть коэффициент
, отличный от нуля (для определённости пусть будет
).
В первом случае преобразуем квадратичную форму следующим образом:
![{\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=(a_{11}x_{1}^{2}+2a_{12}x_{1}x_{2}+...+2a_{1n}x_{1}x_{n})+f_{1}(x_{2},x_{3},...,x_{n})=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bd57244df5fd5e3ce75bf1455d2541c0e4faa8e)
![{\displaystyle ={\frac {1}{a_{11}}}(a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n})^{2}-{\frac {1}{a_{11}}}(a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n})^{2}+f_{1}(x_{2},x_{3},...,x_{n})=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78f5cc46b213f21fc81c97482db645669b0b6277)
, где
, а через
обозначены все остальные слагаемые.
представляет собой квадратичную форму от n-1 переменных
.
С ней поступают аналогичным образом и так далее.
Заметим, что
Второй случай заменой переменных
сводится к первому.