Квадратичная форма

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть есть векторное пространство над полем и — базис в .

Функция называется квадратичной формой, если её можно представить в виде

где , а — некоторые элементы поля .

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Матрицу называют матрицей квадратичной формы в данном базисе. В случае, если характеристика поля не равна 2, можно считать, что матрица квадратичной формы симметрична, то есть .
  • Для любой квадратичной формы существует единственная симметричная билинейная форма , такая, что . Билинейную форму называют полярной к , она может быть вычислена по формуле
  • Матрица квадратичной формы в произвольном базисе совпадает с матрицей полярной ей билинейной формы в том же базисе.
  • Если матрица квадратичной формы имеет полный ранг, то квадратичную форму называют невырожденной, иначе — вырожденной.
  • Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) определённой, если для любого выполнено неравенство . Положительно определённые и отрицательно определённые формы называются знакоопределёнными.
  • Квадратичная форма называется знакопеременной, если она принимает как положительные, так и отрицательные значения.
  • Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) полуопределенной, если для любого .

Свойства[править | править вики-текст]

  • Критерий Сильвестра
    • Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны.
    • Квадратичная форма является отрицательно определенной, тогда и только тогда, когда знаки всех угловых миноров её матрицы чередуются, причем минор порядка 1 отрицателен.
  • Билинейная форма, полярная положительно определённой квадратичной форме, удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения.
  • Для любой невырожденной квадратичной формы существует базис, в котором её матрица диагональна, а сама форма имеет канонический вид (нормальный вид):
    • Найти этот базис можно при помощи метода Лагранжа.
    • Разность между числом положительных () и отрицательных () членов в этой записи называется сигнатурой квадратичной формы. Сигнатура, как и сами числа положительных и отрицательных слагаемых, не зависит от способов приведения квадратичной формы к каноническому виду (закон инерции Сильвестра).
  • Для приведения квадратичной формы к каноническому виду обычно используется метод Лагранжа.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Скалярное произведение векторов — симметричная билинейная функция. Соответствующая квадратичная форма является положительно определённой, она сопоставляет вектору квадрат его длины.
  • Квадратичная форма на плоскости (вектор имеет две координаты: и ) является знакопеременной, она приводится к каноническому виду с помощью линейной замены .

Эквивалентные квадратичные формы[править | править вики-текст]

Две квадратичные формы и называются эквивалентными, если найдется целочисленная матрица:

с определителем равным 1, переводящая матрицу в матрицу :

Поскольку эквивалентное преобразование не меняет детерминант формы, необходимым условием эквивалентности двух форм является равенство их детерминантов. Однако обратное неверно: среди форм с одинаковым детерминантом может найтись конечное число неэквивалентных.

Редуцированные квадратичные формы[править | править вики-текст]

Положим любое положительное целое число, не являющееся квадратом какого-либо другого целого числа. Каждый класс неопределенных квадратичных форм с детерминантом содержит набор канонических представлений, называющихся редуцированными формами. Квадратичная форма называется редуцированной, если .

Так же нетрудно заметить, что квадратичная форма является редуцированной тогда и только тогда, когда и, что число редуцированных квадратичных форм определенного детерминанта конечно.

Квадратные, смежные и неоднозначные квадратичные формы[править | править вики-текст]

Две формы и называются смежными, если выполняется условие , например:

Также на множестве эквивалентных форм можно определить операцию умножения(композицию) тогда, если коэффициенты и взаимно-просты,

Квадратной формой называется квадратичная форма вида , в которой третий коэффициент является полным квадратом. Из квадратичной формы можно извлечь квадратный корень. Для вычисления корня заменим форму на эквивалентную ей смежную форму , потом извлечем квадратный корень на основании предыдущего определения. В итоге операция извлечения корня сведется к следующему:

[1]

Форма вида называется неоднозначной. Если форма неоднозначна, то её определитель делится на

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Ш.Т. Ишмухаметов Методы факторизации натуральных чисел, Казанский университет, 2011 стр 78

Литература[править | править вики-текст]