Квадратичная форма

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть есть векторное пространство над полем и — базис в .

Функция называется квадратичной формой, если её можно представить в виде

где , а — некоторые элементы поля .

Связанные определения и свойства[править | править вики-текст]

  • Матрицу называют матрицей квадратичной формы в данном базисе. В случае, если характеристика поля не равна 2, можно считать, что матрица квадратичной формы симметрична, то есть . Так, например, квадратичную форму от двух переменных обычно записывают в виде
.
  • При замене базиса (т.е. невырожденной линейной замене переменных ) с матрицей замены матрица квадратичной формы изменяется по формуле
где — матрица квадратичной формы в новом базисе, звёздочка означает транспонирование.
  • Из формулы следует, что определитель матрицы квадратичной формы не является её инвариантом (т.е. не сохраняется при замене базиса, в отличие, например, от матрицы линейного отображения), но её ранг — является. Таким образом, определено понятие ранга квадратичной формы.
  • Если матрица квадратичной формы имеет полный ранг , то квадратичную форму называют невырожденной, в противном случае — вырожденной.
  • Для любой квадратичной формы существует единственная симметричная билинейная форма , такая, что . Билинейную форму называют полярной к , она может быть вычислена по формуле
  • Матрица квадратичной формы в произвольном базисе совпадает с матрицей полярной ей билинейной формы в том же базисе.

Знакоопределённые и знакопеременные формы[править | править вики-текст]

В случае, когда (поле вещественных чисел), важную роль, в том числе, для различных приложений, играют понятия положительно и отрицательно определённой квадратичной формы.

  • Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) определённой, если для любого выполнено неравенство . Положительно определённые и отрицательно определённые формы называются знакоопределёнными.
  • Квадратичная форма называется знакопеременной (индефинитными), если она принимает как положительные, так и отрицательные значения.
  • Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) полуопределенной, если для любого .

Для решения вопроса о том, является ли данная квадратичная форма положительно (отрицательно) определённой, используется критерий Сильвестра:

  • Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны.
  • Квадратичная форма является отрицательно определенной, тогда и только тогда, когда знаки всех угловых миноров её матрицы чередуются, причем минор порядка 1 отрицателен.

Билинейная форма, полярная положительно определённой квадратичной форме, удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения.

Канонический вид[править | править вики-текст]

Вещественный случай[править | править вики-текст]

В случае, когда (поле вещественных чисел), для любой квадратичной формы существует базис, в котором её матрица диагональна, а сама форма имеет канонический вид (нормальный вид):

где — ранг квадратичной формы. В случае невырожденной квадратичной формы , а в случае вырожденной — .

Для приведения квадратичной формы к каноническому виду обычно используется метод Лагранжа, причем привести данную квадратичную форму к каноническому виду можно не одним, а многими способами.

Число (отрицательных членов) называется индексом инерции данной квадратичной формы, а число (разность между числом положительных и отрицательных членов) называется сигнатурой квадратичной формы. Отметим, что иногда сигнатурой квадратичной формы называют пару . Числа являются инвариантами квадратичной формы, т.е. не зависят от способа её приведения к каноническому виду (закон инерции Сильвестра).

Комплексный случай[править | править вики-текст]

В случае, когда (поле комплексных чисел), для любой квадратичной формы существует базис, в котором форма имеет канонический вид

где — ранг квадратичной формы. Таким образом, в комплексном случае (в отличие от вещественного) квадратичная форма имеет один единственный инвариант — ранг, и все невырожденные формы имеют один и тот же канонический вид (сумма квадратов).

Примеры[править | править вики-текст]

  • Скалярное произведение векторов — симметричная билинейная функция. Соответствующая квадратичная форма является положительно определённой, она сопоставляет вектору квадрат его длины.
  • Квадратичная форма на плоскости (вектор имеет две координаты: и ) является знакопеременной, она приводится к каноническому виду с помощью линейной замены .

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]