Осциллятор Дуффинга

Осциллятор Дуффинга
Отображение Пуанкаре для вынужденных колебаний осциллятора Дуффинга, демонстрирующее хаотическое поведение
Определяющая формула	${\ddot {x}}+\delta {\dot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}=\gamma \cos(\omega t)$
Медиафайлы на Викискладе

Осциллятор Дуффинга (англ. Duffing oscillator) — простейшая одномерная нелинейная система. Представляет собой частицу, движущуюся в потенциале вида $U(x)=ax^{2}/2+bx^{4}/4$. При $b=0$ система сводится к обычному гармоническому осциллятору.

Особенностью осциллятора Дуффинга является возможность моделирования хаотической динамики.

Дифференциальное уравнение движения для осциллятора Дуффинга имеет вид:

$m{\ddot {x}}=-ax-bx^{3}$,

где $x$ и $m$ соответственно, координата частицы и её масса.

Уравнение впервые было изучено немецким инженером Георгом Дуффингом в 1918 году. Дискретная его версия известна как отображение Дуффинга.

Решение этого уравнения Дуффинга выражается через эллиптические функции: $x(t)=a_{1}cn(u,k),u=a_{2}t+b$.

Зависимость амплитуды от частоты

В отсутствие диссипации (трения), гармонический (линейный) осциллятор, находящийся под действием внешней периодической силы $F=F_{0}\cos(\omega t)$, испытывает резонанс, если частота этой силы $\omega$ совпадает с собственной частотой осциллятора $\omega _{0}=\omega$. При близости возбуждающей частоты частоте резонанса осциллятор совершает колебания конечной амплитуды. Последняя пропорциональна $(\omega _{0}-\omega )^{-2}$ и обращается в бесконечность точно при резонансе.

В отличие от гармонического осциллятора, осциллятор Дуффинга под действием внешней периодической силы испытывает бистабильное поведение.

Литература

• Ivana Kovacic, Michael J. Brennan. The Duffing Equation: Nonlinear Oscillators and their Behaviour. — John Wiley & Sons, 2011. — ISBN 9780470715499.
• M. Lakshmanan, K Murali. Chaos In Nonlinear Oscillators: Controlling And Synchronization. — World Scientific, 1996. — Vol. 13. — P. 35—90. — 340 p. — (World Scientific Series on Nonlinear Science Series A). — ISBN 978-981-02-2143-0.

Ссылки

• Осциллятор Даффинга на Сколарпедии