Эллиптическая функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Эллиптическая функция — в комплексном анализе периодическая в двух направлениях функция, заданная на комплексной плоскости. Эллиптические функции можно рассматривать как аналоги тригонометрических (имеющих только один период). Исторически, эллиптические функции были открыты как функции, обратные эллиптическим интегралам.

Определение[править | править код]

Эллиптической функцией называют такую мероморфную функцию , определённую на области , для которой существуют два ненулевых комплексных числа и , таких что:

а также частное не является действительным числом.

Из этого следует, что для любых целых и :

.

Любое комплексное число , такое что

,

называют периодом функции . Если периоды и таковы, что любое может быть записано как:

,

то и называют фундаментальными периодами. Каждая эллиптическая функция обладает парой фундаментальных периодов.

Параллелограмм с вершинами в , , , называется Фундаментальным параллелограммом.

Свойства[править | править код]

  • Не существует отличных от констант целых эллиптических функций. (Первая теорема Лиувилля)
  • Если эллиптическая функция не имеет полюсов на границе параллелограмма , то сумма вычетов во всех полюсах, лежащих внутри равна нулю. (Вторая теорема Лиувилля)
  • Любая эллиптическая функция с периодами и может быть представлена в виде

Где h, g — рациональные функции,  — функция Вейерштрасса с теми же периодами, что и у . Если при этом является чётной функцией, то её можно представить в виде , где h рациональна.

  • Эллиптические функции неэлементарны, это было доказано Якоби в 1830-х годах.

См. также[править | править код]

Литература[править | править код]

  1. Эллиптические функции // Кнэпп Э. Эллиптические кривые. — М.: Факториал Пресс, 2004.
  2. Глава 11 // Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — М.: Государственное издание физико-математической литературы, 1960.