Скалярный потенциал

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Скалярный потенциал векторного поля (чаще просто потенциал векторного поля) — это скалярная функция такая, что во всех точках области определения поля

где обозначает градиент . В физике обычно потенциалом называют величину, противоположную по знаку (потенциал силы, потенциал электрического поля).

Потенциальные поля[править | править вики-текст]

График гравитационного потенциала однородного тонкого массивного диска в его плоскости.

Поле называется потенциальным, если для него существует скалярный потенциал. Для потенциального поля криволинейный интеграл между двумя точками:

не зависит от пути интегрирования , соединяющего эти точки. Это равносильно тому, что интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю:

В физических терминах это означает, что механическая работа по перемещению пробного тела в силовом потенциальном поле не зависит от траектории перемещения, а только от положения начальной и конечной точек траектории.

Непрерывное векторное поле в односвязной области трёхмерного пространства потенциально тогда и только тогда, когда оно безвихревое:

Обобщением этой теоремы на случай произвольного конечномерного пространства является лемма Пуанкаре. Для таких пространств существует изоморфизм между векторными полями и 1-формами , при этом вопрос о существовании потенциала сводится к вопросу об обращении внешнего дифференцирования. Лемма Пуанкаре утверждает, что любая замкнутая форма в односвязной области конечномерного пространства точна.

Заметим, что в общем случае неодносвязного пространства условия замкнутости недостаточно. Легко проверить, что поле на плоскости

является безвихревым в любой односвязной области, не содержащей точку , однако

для любого контура , один раз обходящего вокруг начала координат против часовой стрелки.

Ньютонов потенциал[править | править вики-текст]

Из любого векторного поля в можно выделить его потенциальную составляющую. Соответствующий ей потенциал можно записать в явном виде, не производя разложение самого поля. Он определяется интегралом, называющимся ньютоновым потенциалом:

При этом дивергенция поля должна убывать на бесконечности быстрее, чем . В случае безвихревого поля этот интеграл даёт скалярный потенциал поля.

Дивергенцию можно отождествить с плотностью зарядов . В частности, для поля

получаем обычную формулу для ньютонова гравитационного потенциала точечной массы, расположенной в начале координат:

где  — трёхмерная дельта-функция Дирака.

См. также[править | править вики-текст]