Поверхность Долгачёва

Поверхности Долгачёва — это определённые односвязные эллиптические поверхности, введённые Долгачёвым. Их можно использовать для получения примеров бесконечного семейства гомеоморфных односвязных компактных 4-многообразий, никакие два из которых не диффеоморфны.

Свойства

Раздутие X₀ проективной плоскости в 9 точках можно реализовать как эллиптическое расслоение, в котором все слои неприводимы. Поверхность Долгачёва X_q получается путём применения логарифмических преобразований порядков 2 и q к двум гладким слоям для некоторого q ≥ 3.

Поверхности Долгачёва односвязны и билинейная форма на второй группе когомологий имеет нечётную сигнатуру (1, 9) (так что это унимодулярная решётка I_1,9). Геометрический род p_g поверхности равен 0, а размерность Кодаиры равна 1.

Дональдсон нашёл первые примеры гомеоморфных, но не диффеоморфных 4-многообразий X₀ и X₃. Более общо, поверхности X_q и X_r всегда гомеоморфны, но не диффеоморфны, если толькоq не равно r.

Акбулут показал, что поверхность Долгачёва X₃ имеет разложение на ручки без 1- и 3-ручек.

Литература

• Selman Akbulut. The Dolgachev surface. — 2008. — arXiv:0805.1524.
• Wolf P. Barth, Klaus Hulek, Chris A.M. Peters, Antonius Van de Ven. Compact Complex Surfaces. — Springer-Verlag, Berlin, 2004. — Т. 4. — (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge.). — ISBN 978-3-540-00832-3.
• Dolgachev I. Algebraic surfaces with p_g = g = 0 // Algebraic Surfaces, CIME 1977, Cortona, Liguori Napoli. — 1981. — С. 97—215.
• Donaldson S. K. Irrationality and the h-cobordism conjecture // Journal of Differential Geometry. — 1987. — Т. 26, вып. 1. — С. 141–168.