Гомология (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теория гомоло́гий (др.-греч. ὁμός «равный, одинаковый; общий; взаимный» и λόγος «учение, наука») — раздел математики, который изучает конструкции некоторых топологических инвариантов, называемых группами гомологий и группами когомологий. Также теориями гомологий называют конкретные конструкции групп гомологий.

В простейшем случае топологическому пространству сопоставляется последовательность абелевых групп гомологий , занумерованных натуральными числами . Они являются гомотопическими инвариантами и, в отличие от гомотопических групп, они проще вычисляются и более наглядны геометрически, но для односвязных пространств несут столько же информации[1].

Однако определение гомологий менее явно и использует некоторую техническую машинерию[2], и потому существует несколько различных теорий гомологий — как определённых только для «хороших» топологических пространств или требующих дополнительной структуры, так и более сложных, предназначенных для работы с патологическими примерами. Тем не менее, за исключением таких патологических случаев они обычно совпадают: для клеточных пространств это обеспечивается аксиомами Стинрода — Эйленберга.

Другими обычными понятиями теории гомологий являются гомологии с коэффициентами в абелевой группе , относительные гомологии пары пространств и когомологии , определения которых в некотором смысле двойственно к определению гомологий. Часто рассматриваются именно когомологии из-за наличиях на них умножения , превращающего их в градуированную алгебру.

Также когомологиями называются инварианты, сопоставляемые другим математическим объектам — группам, алгебрам Ли, пучкам. Их объединяет формальная схожесть — например, наличие в их определении понятия гомологий цепного комплекса — а в некоторых случаях и наличие конструкций, сопоставляющих таким объектам топологические пространства с подходящими гомологиями.

Общее определение[править | править код]

Напомним, что -тая гомотопическая группа пространства  — это множество отображений из -мерной сферы в , рассмотренное с точностью до непрерывной деформации. Для определения гомологий отображения сфер заменяют на -циклы, которые интуитивно представляют как замкнутые (то есть не имеющие границы) ориентированные плёнки размерности внутри , но в разных определениях формализуют по разному. Условие непрерывной деформируемости заменяют на условие, что разность циклов (их объединение, в котором второй берётся с противоположной ориентацией) является ориентированной границей цикла размерности на один больше.

В стандартных обозначениях группа -циклов — (от нем. Zyklus — «цикл»), группа -границ — (от англ. boundary — «граница»), а фраза «гомологии есть циклы с точностью до границ» записывается как

.

Для формализации этой идеи необходимо строго определить циклы и их границы, что для циклов размерности приводит к некоторым трудностям[1]. Решением является определение промежуточного понятия группы -цепей , состоящей из формальных линейных комбинаций отображений в неких стандартных элементов, зависящих от выбранной конструкции. Граница стандартных элементов определяется как линейная комбинация стандартных элементы размерности на один меньше с подходящими ориентациями, что индуцирует отображение границы . Тогда -циклы определяются как -цепи с нулевой границей (чтобы равенство границы нулю имело смысл, необходимо брать не только положительные, но и любые линейные комбинации стандартных элементов, а отображение границы задавать со знаком). Таким образом, циклы являются ядром, а границы — образом отображения границы:

.

Условие того, что все границы является циклами, принимает вид условия цепного комплекса: , а гомологии топологического пространства являются гомологиями этого комплекса.

Выбор стандартных элементов и отображения границы отличается в зависимости от теории. В теории сингулярных гомологий такими элементами являются симплексы, а отображение границы сопоставляет симплексу знакочередующуюся сумму его граней. В теории симплициальных гомологий, определённых для симплициальных комплексов, — тоже симплексы, но не все, а входящие в выбранное симплициальное разбиение. В теории клеточных гомологий[en]*, определённых для клеточного комплекса, это гиперсферы из подходящего скелета, а отображение границы задаётся более сложно.

Гомологические теории[править | править код]

Определяются довольно просто, но доказательство их инвариантности и функториальности довольно сложно.

  • Сингулярные гомологии — другая теория гомологий, предложенная Лефшецом. Их определение требует работы с бесконечномерными пространствами, но инвариантность и функториальность сразу становятся очевидными.
  • Гомологии Чеха — теория гомологий, наиболее приспособленная для работы с патологическими пространствами.

Гомологии с коэффициентами в произвольных группах[править | править код]

Можно определять гомологии, позволяя коэффициентам при симплексах в цепях быть элементами любой абелевой группы . То есть, вместо групп рассматривать группы .

Группы гомологий (симплициальные, сингулярные и т. д.) пространства с коэффициентами в группе обозначаются Обычно применяют группу действительных чисел , рациональных чисел , или циклическую группу вычетов по модулю  — , причём обычно берётся  — простое число, тогда является полем.

Другое описание. Применяя к комплексу

функтор , мы получим комплекс

,

гомологии которого и есть гомологии с коэффициентами в .

Когомологии[править | править код]

Кроме цепей можно ввести понятие коцепей — отображений векторного пространства цепей в группу . То есть, пространство коцепей .

Граничный оператор определяется по формуле: (где ). Для такого граничного оператора также выполняется

, а именно
.

Поэтому аналогично тому, что было сказано выше, можно ввести понятия коциклов , кограниц и когомологий .

Понятие когомологии двойственно понятию гомологии.

Если  — кольцо, то в группе когомологий определено естественное умножение (произведение Колмогорова — Александера или -npоизведение), превращающее эту группу в градуированное кольцо, называемое кольцо когомологий.

В случае, когда  — дифференцируемое многообразие, кольцо когомологий может быть вычислено при помощи дифференциальных форм на (см. Теорема де Рама).

Понятие когомологии было введено Александером и Колмогоровым.

Относительные гомологии и точная гомологическая последовательность[править | править код]

Возьмём случай двух топологических пространств . Группа цепей (цепи могут быть как с целочисленными коэффициентами, так и с коэффициентами в любой группе ). Относительными цепями будут называться элементы факторгруппы . Так как граничный оператор на группе гомологий подпространства переводит , то можно определить на факторгруппе граничный оператор (мы его обозначим так же) .

Те относительные цепи, которые граничный оператор переводит в будут называться относительными циклами , а цепи, которые являются его значениями — относительными границами . Так как на абсолютных цепях, то это же будет верно для относительных, отсюда . Факторгруппа называется группой относительных гомологий.

Так как каждый абсолютный цикл в является также и относительным то имеем гомоморфизм По функториальному свойству вложение приводит к гомоморфизму .

В свою очередь можно построить гомоморфизм , который мы определим следующим образом. Пусть  — относительная цепь, которая определяет цикл из . Рассмотрим её как абсолютную цепь в (с точностью до элементов ). Так как это относительный цикл, то будет равен нулю с точностью до некоторой цепи . Положим равным классу гомологий цепи .

Если мы возьмём другую абсолютную цепь , определяющую тот же относительный цикл, то мы будем иметь , где . Имеем , но так как является границей в то и определяют один и тот же элемент в группе гомологий . Если взять другой относительный цикл , дающий тот же элемент в группе относительных гомологий , где  — относительная граница, то в силу того, что граница для относительных гомологий , где , отсюда , но , а  — граница в .

Поэтому класс гомологий определен однозначно. Ясно по линейности оператора , что он является гомоморфизмом. Итак мы имеем гомоморфизмы:

;
и
;

Можно доказать, что эта последовательность точна, то есть образ любого гомоморфизма равен ядру следующего гомоморфизма.

Аксиомы Стинрода — Эйленберга[править | править код]

Помимо уже известных нам симплициальных и сингулярных гомологий существуют ещё другие теории гомологий и когомологий, например клеточные гомологии, Когомологии Александрова — Чеха, когомологии де Рама и т. д. Стинрод и Эйленберг определили систему аксиом теории (ко)гомологий. Вначале они определяют т. н. допустимый класс пар топологических пространств, удовлетворяющий следующим свойствам:

  1. Если то и .
  2. Если , то и , где  — замкнутый интервал [0,1].
  3. , где  — одноточечное пространство.

В теории гомологий по Стинроду — Эйленбергу каждой допустимой паре и любому целому числу k соответствует абелева группа и непрерывному отображению пар соответствует гомоморфизм (Пространство отождествляется с парой ), а с ), причём выполняются следующие аксиомы:

  1. Тождественному отображению пары соответствует тождественный гомоморфизм .
  2. (функториальность)
  3. Определен граничный гомоморфизм , причём если , то для соответствующего гомоморфизма верно для любой размерности .
  4. Пусть и  — вложения, и  — соответствующие гомоморфизмы,  — граничный гомоморфизм. Тогда определяемая ими последовательность

    точна (аксиома точности).
  5. Если отображения гомотопны, то соответствующие гомоморфизмы равны для любой размерности (аксиома гомотопической инвариантности).
  6. Пусть  — открытое подмножество , причём его замыкание содержится во внутренности множества , тогда если пары и принадлежат допустимому классу, то для любой размерности вложению соответствует изоморфизм (аксиома вырезания).
  7. Для одноточечного пространства для всех размерностей . Абелева группа называется группой коэффициентов (аксиома размерности).

Для сингулярных гомологий допустимый класс пар состоит из всех пар топологических пространств. Ранее определенные группы сингулярных гомологий с коэффициентами в группе их отображения и граничный гомоморфизм удовлетворяют всем этим аксиомам. Если в качестве допустимого класса взять класс полиэдров, то можно доказать, что гомологии, определенные с помощью данной системы аксиом, совпадают с симплициальными.

Аналогично можно ввести систему аксиом для когомологий, которая полностью аналогична.

Необходимо только иметь в виду, что отображению соответствует (контравариантность) и что кограничный гомоморфизм увеличивает размерность.

Экстраординарные гомологии[править | править код]

В системе аксиом Стинрода — Эйленберга аксиома размерности оказывается не столь важна, как остальные.

Теории (ко)гомологий, которые могут иметь ненулевые группы (ко)гомологий одноточечного пространства для размерностей , называются экстраординарными или обобщёнными. Наиболее важными экстраординарными теориями являются K-теория Атьи (надо отметить важный вклад в эту теорию Хирцебруха, Ботта и Адамса) и теория бордизмов Р. Тома.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

  • Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — М.: МЦНМО, 2005
  • Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы теории гомологий. — М.: Наука, 1984
  • Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. — Ижевск: РХД, 2001
  • Лефшец С. Алгебраическая топология. — М.: ИЛ, 1949
  • Новиков П. С. Топология. — 2 изд. испр. и доп. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002
  • Прасолов В. В. Элементы теории гомологий. — М.: МЦНМО, 2006
  • Свитцер Р. М. Алгебраическая топология. — гомотопии и гомологии. — М.: Наука, 1985
  • Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971
  • Стинрод Н., Эйленберг С. Основания алгебраической топологии. — М.: Физматгиз, 1958
  • Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989. — 528 с. — ISBN 5020139297.
  • Hatcher A.[en]. Algebraic Topology. — Cambridge University Press, 2002. — ISBN 0521795400.