Принцип максимума Хаусдорфа

Принцип максимума Хаусдорфа (англ. Hausdorff maximal principle), также называемый теоремой Хаусдорфа о максимуме (англ. Hausdorff maximality theorem), утверждает:

В любом частично упорядоченном множестве существует максимальное линейно упорядоченное подмножество.

Принцип максимума Хаусдорфа был сформулирован и доказан Феликсом Хаусдорфом в 1914 году, и является альтернативной и более ранней формулировкой леммы Цорна. Как и указанная лемма, принцип максимума Хаусдорфа эквивалентен аксиоме выбора.

Эквивалентная формулировка

Существует вторая формулировка принципа максимума, эквивалентная первой. Чтобы точно сформулировать её, предварительно введем следующие определения. Цепью в частично упорядоченном множестве $M$ называется всякое его линейно упорядоченное подмножество (в частности, пустое множество). Цепь называется максимальной, если она не содержится в качестве собственного подмножества ни в какой другой цепи, принадлежащей $M$.

Принцип максимума Хаусдорфа (вторая формулировка). В частично упорядоченном множестве всякая цепь содержится в некоторой его максимальной цепи.

Первая формулировка является частным случаем второй, если в качестве исходной цепи взять пустое множество. Однако в действительности они эквивалентны. Доказательство см. в статье Утверждения, эквивалентные аксиоме выбора.

Источники

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 7-е изд. — М.: «ФИЗМАТЛИТ», 2004. — 572 с. — ISBN 5-9221-0266-4.

Литература

• Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — М.: «НАУКА», 1977. — 368 с.
• Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. — 2-е изд. — М.: «НАУКА», 1973. — 400 с.
• Хаусдорф Ф. Теория множеств. — 4-е изд. — М.: УРСС, 2007. — 304 с. — ISBN 978-5-382-00127-2.

См. также

• Аксиома выбора
• Лемма Цорна
• Утверждения, эквивалентные аксиоме выбора
• Теорема Цермело