Линейно упорядоченное множество

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Линейно упорядоченное множество или цепьчастично упорядоченное множество, в котором для любых двух элементов a и b имеет место a\leqslant b или b\leqslant a.

Важнейший частный случай линейно упорядоченных множеств ― вполне упорядоченные множества.

Связанные определения[править | править исходный текст]

Сечением линейно упорядоченного множества P называется разбиение его на два подмножества A и B так, что A\cup B=P, A\cap B=\varnothing и для любых a\in A и b\in B, a\leqslant b Классы A и B называются соответственно нижним и верхним классами сечения.

Различаются следующие типы сечений:

  • скачок ― в нижнем классе имеется наибольший элемент, а в верхнем ― наименьший;
  • дедекиндово сечение ― в верхнем классе нет наименьшего элемента;
  • щель ― в нижнем классе нет наибольшего элемента, а в верхнем ― наименьшего.

Линейно упорядоченное множество называется непрерывным, если все его сечения дедекиндовы.

Подмножество D линейно упорядоченного множества P называется плотным, если каждый неодноэлементный интервал множества P содержит элементы, принадлежащие D.

Свойства[править | править исходный текст]

  • Подмножество линейно упорядоченного множества само является линейно упорядоченным.
  • Всякий максимальный (минимальный) элемент линейно упорядоченного множества оказывается наибольшим (наименьшим).[1]
  • Линейно упорядоченное множество вещественных чисел может быть охарактеризовано как непрерывное линейно упорядоченное множество в котором нет ни наибольшего, ни наименьшего элементов, но содержится счётное плотное подмножество.
  • Всякое счётное линейно упорядоченное множество изоморфно некоторому подмножеству отрезка [0, 1] с порядком, унаследованным от \mathbb{R}.
  • Решётка L изоморфна подмножеству линейно упорядоченного множества целых чисел тогда и только тогда, когда каждая ее подрешетка является ретрактом.

Примечания[править | править исходный текст]