Линейно упорядоченное множество

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Лине́йно упоря́доченное мно́жество или цепьчастично упорядоченное множество, в котором для любых двух элементов и имеет место или .

Важнейший частный случай линейно упорядоченных множеств ― вполне упорядоченные множества.

Связанные определения[править | править вики-текст]

Сечением линейно упорядоченного множества называется разбиение его на два подмножества и так, что , и для любых и , Классы и называются соответственно нижним и верхним классами сечения.

Различаются следующие типы сечений:

  • скачок ― в нижнем классе имеется наибольший элемент, а в верхнем ― наименьший;
  • дедекиндово сечение ― в верхнем классе нет наименьшего элемента или в нижнем классе нет наибольшего, но не одновременно;
  • щель ― в нижнем классе нет наибольшего элемента, а в верхнем ― наименьшего.

Линейно упорядоченное множество называется непрерывным, если все его сечения дедекиндовы.

Подмножество линейно упорядоченного множества называется плотным, если каждый неодноэлементный интервал множества содержит элементы, принадлежащие .

Свойства[править | править вики-текст]

  • Подмножество линейно упорядоченного множества само является линейно упорядоченным.
  • Всякий максимальный (минимальный) элемент линейно упорядоченного множества оказывается наибольшим (наименьшим).[1]
  • Линейно упорядоченное множество вещественных чисел может быть охарактеризовано как непрерывное линейно упорядоченное множество в котором нет ни наибольшего, ни наименьшего элементов, но содержится счётное плотное подмножество.
  • Всякое счётное линейно упорядоченное множество изоморфно некоторому подмножеству отрезка с порядком, унаследованным от .
  • Решётка изоморфна подмножеству линейно упорядоченного множества целых чисел тогда и только тогда, когда каждая её подрешетка является ретрактом.

Примечания[править | править вики-текст]