Простое число Фибоначчи — Вифериха

Нерешённые проблемы математики: Существуют ли простые числа Фибоначчи — Вифериха? Если да, конечно ли их количество?

Простое число Фибоначчи — Вифериха (также простое число Уолла — Суня — Суня, англ. Wall – Sun – Sun) — одно из предположительно существующих простых чисел определённого вида, связанных с числами Фибоначчи. По состоянию на 2023 год ни одного такого числа не найдено.

Определение

Простое $p>5$ называется простым числом Фибоначчи — Вифериха, если $p^{2}$ делит число Фибоначчи $F_{p-\left({\frac {p}{5}}\right)}$, где символ Лежандра $\left({\tfrac {p}{5}}\right)$ определяется как:

$\left({\frac {p}{5}}\right)={\begin{cases}1,&{\text{if}}\ p\equiv \pm 1{\pmod {5}}\\-1,&{\text{if}}\ p\equiv \pm 2{\pmod {5}}\end{cases}}$

Эквивалентное определение: простое $p$ называется простым числом Фибоначи — Вифериха, если $L_{p}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}$, где $L_{p}$ — $p$-ое число Люка.

Существование

Существует гипотеза, что простых чисел Фибоначчи — Вифериха бесконечно много, однако по состоянию на 2013 год ни одно такое простое число не обнаружено.

В 2007 году Ричард Макинтош (Richard J. McIntosh) и Эрик Рётгер (Eric L. Roettger) показали, что если они существуют, то должны быть больше 2⋅10¹⁴, в 2010 году Франсуа Дорэ (François G. Dorais) и Доминик Клайв (Dominic Klyve) довели границу до 9,7⋅10¹⁴. В декабре 2011 года был начат поиск в проекте PrimeGrid, в декабре 2012 года PrimeGrid дошёл до границы 1,5⋅10¹⁶. По состоянию на апрель 2014 года PrimeGrid дошёл до границы 2.8⋅10¹⁶ и продолжает поиск.

История

Простые числа Уолла — Суня — Суня названы в честь Дональда Уолла (Donald Dines Wall), Сунь Чжихуна (Sūn Zhìhóng) и Сунь Чживэя (Sūn Zhìwěi), которые в 1992 году показали, что если первый случай великой теоремы Ферма неверен для некоторого простого $p,$ то $p$ должно быть простым числом Фибоначи — Вифериха. Таким образом, до доказательства великой теоремы Ферма Эндрю Уайлсом, поиск простых Фибоначчи — Вифериха преследовал цель найти потенциальный контрпример.

Обобщения

Простое (число) трибоначчи — Вифериха (англ. Tribonacci-Wieferich prime) — простое число, удовлетворяющее условию

$h(p)=h(p^{2}),$

где $h(m)$ — наименьшее положительное целое, для которого выполняется условие

$\left[T_{h},T_{h+1},T_{h+2}\right]\equiv \left[T_{0},T_{1},T_{2}\right]{\pmod {m}},$

$T_{n}$ — число трибоначчи с номером n, определённое как

$T_{n+3}=T_{n+2}+T_{n+1}+T_{n},$

$T_{0}=0,T_{1}=0,T_{2}=1.$

Простых трибоначчи — Вифериха, меньших 10¹¹, не существует.

См. также

• Простое число Вифериха
• Число Вильсона
• Простое число Вольстенхольма

Литература

• Crandall, Richard E.; Pomerance, Carl (2001), Prime Numbers: A Computational Perspective, Springer, p. 29, ISBN 0-387-94777-9

Ссылки

• Chris Caldwell, The Prime Glossary: Wall-Sun-Sun prime at the Prime Pages.
• Weisstein, Eric W. Wall–Sun–Sun prime (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Richard McIntosh, Status of the search for Wall-Sun-Sun primes (October 2003)