Число Вильсона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Простое число Вильсона (названо в честь английского математика Джона Вильсона) – это простое число p, такое, что p^2 делит (p - 1)! + 1, где "!" означает факториал. Заметьте, что по теореме Вильсона любое простое p делит (p - 1)! + 1.

Известны только три простых числа Вильсона – это 5, 13 и 563 (последовательность A007540 в OEIS). Если существуют другие, они должны быть больше 2·1013.[1] Была высказана гипотеза, что существует бесконечно много простых чисел Вильсона, и их количество в интервале [xy] около log(log(y)/log(x)).[2]

Было предпринято несколько попыток поиска простых чисел Вильсона.[3][4][5] Проект распределённых вычислений Ibercivis включает поиск простых чисел Вильсона.[6] Другой поиск координируется проектом mersenneforum.[7]

Обобщения[править | править вики-текст]

Почти простые Вильсона[править | править вики-текст]

Простые p, для которых выполняется (p − 1)! ≡ − 1 + Bp (mod p2) для малых |B| могут быть названы почти простыми Вильсона. Почти простые Вильсона с B = 0 представляют собой простые числа Вильсона. Следующая таблица дает список всех таких чисел с |B| ≤ 100 от 106 до 4·1011:[1]

Числа Вильсона[править | править вики-текст]

Число Вильсона – это целое m, такое, что W(m) ≡ 0 (mod m), где W(m) означает дробь Вильсона

W(m) = \frac{(m-1)! + 1}{m}

(последовательность A157250 в OEIS).

Если m – простое, то оно будет и простым Вильсона. С учётом числа 1 имеется 13 чисел Вильсона до 5·108.[8]

Смотри также[править | править вики-текст]

Замечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 A Search for Wilson primes Retrieved on November 2, 2012.
  2. The Prime Glossary: Wilson prime
  3. McIntosh, R. WILSON STATUS (Feb. 1999). E-Mail to Paul Zimmermann (9 March 2004). Проверено 6 июня 2011. Архивировано из первоисточника 29 января 2013.
  4. A search for Wieferich and Wilson primes, p 443
  5. Ribenboim P. Die Welt der Primzahlen: Geheimnisse und Rekorde. — Berlin Heidelberg New York: Springer. — P. 241. — ISBN 3-540-34283-4.
  6. Ibercivis site
  7. Distributed search for Wilson primes (at mersenneforum.org)
  8. Takashi Agoh; Karl Dilcher, Ladislav Skula (1998). «Wilson quotients for composite moduli». Math. Comput. 67 (222): 843–861. DOI:10.1090/S0025-5718-98-00951-X.

Ссылки[править | править вики-текст]

Внешние ссылки[править | править вики-текст]