Рациональная поверхность

Рациональная поверхность — это поверхность, бирационально эквивалентная проективной плоскости, или, другими словами, рациональное многообразие размерности два. Рациональные поверхности являются простейшими из примерно 10 классов поверхностей классификации Энрикеса — Кодаиры комплексных поверхностей, и это были первые исследованные поверхности.

Структура

Любую неособую рациональную поверхность можно получить путём неоднократного раздутия минимальной рациональной поверхности. Минимальными рациональными поверхностями являются проективная плоскость и поверхности Хирцебруха Σ_r для r = 0 или r ≥ 2.

Инварианты: Все плюрироды равны 0 и фундаментальная группа тривиальна.

Ромб Ходжа:

                 1
           0          0
      1        1+n        1,
           0          0
                 1

где n равен 0 для проективной плоскости, 1 для поверхностей Хирцебруха и больше 1 для других рациональных поверхностей.

Группа Пикара является нечётной унимодулярной решёткой I_1,n, за исключением поверхностей Хирцебруха Σ_2m, для которых это чётная унимодулярная решётка II_1,1.

Теорема Кастельнуово

Гвидо Кастельнуово доказал, что любая комплексная поверхность, для которой q и P₂ (иррегулярность и второй плюрирод) равны нулю, является рациональной. Это используется в классификации Энрикеса — Кодаиры для распознавания рациональных поверхностей. Зарисский доказал, что теорема Кастельнуово верна также для полей положительной характеристики.

Из теоремы Кастельнуово следует также, что любая унирациональная комплексная поверхность рациональна. Большинство унирациональных комплексных многообразий размерности 3 и выше не являются рациональными. Для характеристики p > 0 Зарисский нашёл пример унирациональных поверхностей (поверхности Зарисского), не являющихся рациональными.

Одно время было неясно, являются комплексные поверхности с нулевыми q и P₁ рациональными или нет, но Федериго Энрикес нашёл контрпример (поверхность Энрикеса).

Примеры рациональных поверхностей

• Поверхности Бордига: Вложение степени 6 проективной плоскости в P⁴, определённое 10 точками в общем положении.
• Поверхности Шатле
• Поверхности Кобла
• Кубические поверхности. Неособые кубические поверхности изоморфны раздутию проективной плоскости в 6 точках, и являются плоскостями Фано. Существуют именованные примеры — кубика Ферма, кубическая узловая поверхность Кэли и диагональная поверхность Клебша.
• Поверхности дель Пеццо (поверхности Фано)
• Поверхность Эннепера
• Поверхности Хирцебруха Σ_n
• P¹×P¹. Произведение двух проективных прямых является поверхностью Хирцебруха Σ₀.
• Проективная плоскость
• Поверхность Сегре. Пересечение двух квадрик. Поверхность изоморфна проективной плоскости, раздутой в 5 точках.
• Поверхность Штайнера. Поверхность в P⁴ с особенностями, которая бирациональна проективной плоскости.
• Поверхности Вайта, обобщение поверхностей Бордига.
• Поверхность Веронезе. Вложение проективной плоскости в P⁵.

См. также

• Список алгебраических поверхностей

Литература

• Wolf P. Barth, Klaus Hulek, Chris A.M. Peters, Antonius Van de Ven. Compact Complex Surfaces. — Berlin: Springer-Verlag. — Т. 4. — (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge). — ISBN 978-3-540-00832-3.
• Arnaud Beauville. Complex algebraic surfaces. — 2nd. — Cambridge University Press, 1996. — Т. 34. — (London Mathematical Society Student Texts). — ISBN 978-0-521-49510-3.
• Oscar Zariski. On Castelnuovo's criterion of rationality p_a = P₂ = 0 of an algebraic surface // Illinois Journal of Mathematics. — 1958. — Т. 2. — С. 303–315. — ISSN 0019-2082.