кусок поверхности Эннепера
Поверхность Эннепера — определённый тип самопересекающейся минимальной поверхности.
Рассматривалась Альфредом Эннепером в 1864 году.
- Поверхность Эннепера может быть описана параметрически как
![{\displaystyle x=u(1-u^{2}/3+v^{2})/3,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c142f67931f63800f37a5b1102771f38ac70611)
![{\displaystyle y=-v(1-v^{2}/3+u^{2})/3,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf7fb02dae898d45cbc2eaa2f79e4fcb9d1d67c1)
![{\displaystyle z=(u^{2}-v^{2})/3.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1de7eb40a8207cb4bd165ccb1a44bb1fc8b5f073)
![{\displaystyle 64z^{9}-128z^{7}+64z^{5}-702x^{2}y^{2}z^{3}-18x^{2}y^{2}z+144(y^{2}z^{6}-x^{2}z^{6})+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4feda85cdc235cdf769f48dd44eb6f75815da927)
![{\displaystyle {}+162(y^{4}z^{2}-x^{4}z^{2})+27(y^{6}-x^{6})+9(x^{4}z+y^{4}z)+48(x^{2}z^{3}+y^{2}z^{3})-}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/241ace3c8831b9b7364ae860052d80932fc1337e)
![{\displaystyle {}-432(x^{2}z^{5}+y^{2}z^{5})+81(x^{4}y^{2}-x^{2}y^{4})+240(y^{2}z^{4}-x^{2}z^{4})-135(x^{4}z^{3}+y^{4}z^{3})=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/324b9ec920a621ad02a9bc0b12d3e8aa93056648)
- Касательная плоскость в точке с заданными параметрами
в форме
:
![{\displaystyle a=-(u^{2}-v^{2})(1+u^{2}/3+v^{2}/3),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4e055e294c3e69e48048d4e6b964b107d9fd5e1)
![{\displaystyle b=6u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c45430def67d99692bd69bc9d28655a641fdce9a)
![{\displaystyle c=6v,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30d66648f71c53142088a941bc6c43bf81397412)
![{\displaystyle d=-3(1-u^{2}-v^{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9f9bc592b97726013dc621421c3000f3d7bf7cb)
- Коэффициенты удовлетворяют уравнению 6-й степени
![{\displaystyle 162a^{2}b^{2}c^{2}+6b^{2}c^{2}d^{2}-4(b^{6}+c^{6})+54(ab^{4}d-ac^{4}d)+81(a^{2}b^{4}+a^{2}c^{4})+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7f80eadc75a7cd03f36d9f8a65beea954655ff1)
![{\displaystyle {}+4(b^{4}c^{2}+b^{2}c^{4})-3(b^{4}d^{2}+c^{4}d^{2})+36(ab^{2}d^{3}-ac^{2}d^{3})=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a651e008313fdb2e4383448c8db633d9970e495)
- Якобиан
, гауссова кривизна
и средняя кривизна
:
![{\displaystyle J=(1+u^{2}+v^{2})^{4}/81,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42e4e3cc58c375b223d0232d0f0a52b7cb85a4fb)
![{\displaystyle K=-(4/9)/J,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d45053712bc684d74363c21d181d49040ce9dcd)
![{\displaystyle H=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ffadde073ee7d1ac58fe53a812f844c7fb777cd)
- Полная кривизна равна
.
- Полная минимальная поверхность в
с полной кривизной
является либо катеноидом, либо поверхностью Эннепера.
Допускает обобщение с симметриями вращения более высокого порядка с помощью параметризации Вейерштрасса — Эннепера
для целого числа
.