Однопиковые предпочтения

Однопиковые предпочтения (англ. single-peaked preferences) — это отношение предпочтения, заданное на линейно упорядоченном множестве допустимых альтернатив и характеризующееся единственной точкой насыщения, при удалении от которой полезность агента монотонно снижается.

Однопиковые предпочтения играют важную роль в теории общественного выбора, так как позволяют обойти ограничения, накладываемые теоремой Эрроу о диктатуре. В случае однопиковых предпочтений можно построить процедуру коллективного выбора, которая не будет диктаторской. В этом случае точка насыщения медианного агента будет той альтернативой, которая выиграет при попарном голосовании у любой другой.

Определение

Формальное определение

Однопиковые предпочтения задаются на числовой прямой. Про любую пару альтернатив из множества допустимых альтернатив $x_{i},x_{j}\in X=\{x_{1},\ldots ,x_{N}\}$ можно сказать, что либо $x_{i}\geq x_{j}$, либо $x_{j}\geq x_{i}$. Тогда предпочтения агента $\succsim$ являются однопиковыми над множеством исходов $X$, если существует единственный $x^{*}\in X$ такой, что

$x_{j}<x_{i}\leq x^{*}\Rightarrow x_{i}\succ x_{j}$

$x_{j}>x_{i}\geq x^{*}\Rightarrow x_{i}\succ x_{j}$

В этом случае точка $x^{*}$ есть точка насыщения (идеальный вариант). Если агент выбирает между двумя исходами по одну сторону от нее, он предпочтёт ту, которая находится ближе к $x^{*}$.

Графическое представление

Предположим, что множество допустимых альтернатив состоит из пяти элементов $X={A,B,C,D,E}$. Однопиковые предпочтения для трех агентов могут быть представлены на графике следующим образом:

Предпочтения, не являющиеся однопиковыми:

Примеры

Общественные блага

Однопиковые предпочтения возникают в задаче об оптимальном количестве общественных благ, если блага финансируются за счет индивидуальных взносов некоторого коллектива агентов. Как правило, в качестве взносов рассматриваются налоги. Повышение налогов увеличивает количество общественного блага, но снижает доход который можно потратить на частное потребление. Агент решает следующую задачу:

$u(x_{i},y)=x_{i}+a_{i}v(G)$

$x_{i}+t_{i}=w_{i}$

где $x$ – частное потребление; $y$ – общественное благо; $t$ – налог; $w$ – доход потребителя. При этом сумма налогов равна величине общественного блага $\sum _{i=1}^{n}t_{i}=y$.

Если подставить бюджетное ограничение агента в функцию полезности, то получатся однопиковые предпочтения:

$u(x_{i},y)=(w_{i}-t_{i})+a_{i}v{\Bigg (}\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\Bigg )}$.

Функция зависит от одной переменной $t_{i}$. Множество ее значений линейно упорядочено. Функция имеет единственный глобальный максимум, который является точкой насыщения данного агента.

См. также

• Теория общественного выбора

Литература

• Austen-Smith, David; Jeffrey Banks. Positive Political Theory I: Collective Preferences (англ.). — University of Michigan Press, 2000. — ISBN 978-0-472-08721-1.
• Mas-Colell, Andreu, Michael D. Whinston, and Jerry R. Green. Microeconomic Theory (англ.). — Oxford University Press, 1995. — ISBN 978-0-19-507340-9.
• Moulin, Hervé. Axioms of Cooperative Decision Making (неопр.). — Cambridge University Press, 1991. — ISBN 978-0-521-42458-5.