Теорема Вивиани: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Д.Ильин (обсуждение | вклад) →Приложения: иллюстрирование |
Kknop (обсуждение | вклад) мНет описания правки |
||
Строка 33: | Строка 33: | ||
* {{YouTube|uf2ChRpFTZk|Viviani's theorem: Visualization + Proof}} |
* {{YouTube|uf2ChRpFTZk|Viviani's theorem: Visualization + Proof}} |
||
[[Категория:Теоремы |
[[Категория:Теоремы планиметрии|Вивиани]] |
||
[[Категория:Многоугольники]] |
[[Категория:Многоугольники]] |
||
[[Категория:Геометрия треугольника]] |
[[Категория:Геометрия треугольника]] |
Версия от 16:34, 21 октября 2021
Теорема Вивиани — утверждение в геометрии треугольника, согласно которому сумма расстояний от произвольной точки внутри равностороннего треугольника до его сторон постоянна и равна высоте треугольника. Названа по имени итальянского математика Винченцо Вивиани.
В части постоянства суммы расстояний от произвольной внутренней точки до сторон утверждение может быть обобщено на равносторонние многоугольники и многоугольники с равными углами[1].
Доказательство
Теорема может быть доказана путём сравнения площадей треугольников. Пусть — равносторонний треугольник, в котором — высота, — длина каждой из сторон. Точка выбирается произвольно внутри треугольника, и тогда , , — расстояния от точки до сторон треугольника. Тогда площадь можно определить следующим образом:
- ,
из чего вытекают следующие соотношения:
- ,
то есть:
- .
Приложения
Теорема Вивиани позволяет получать координаты точек на трёхкомпонентные диаграммы[англ.] путём проведения линий, параллельных сторонам равностороннего треугольника. В частности, таким образом можно строить диаграммы воспламеняемости[англ.].
В более общем случае, они позволяют таким же образом задавать координаты на правильном симплексе.
Примечания
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Viviani's Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Li Zhou, Viviani Polytopes and Fermat Points
- Viviani’s Theorem: What is it? at Cut the knot.
- Viviani’s Theorem by Jay Warendorff, the Wolfram Demonstrations Project.
- Viviani's theorem: Visualization + Proof на YouTube