Кратность критической точки

Кратность критической точки гладкого отображения $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ — размерность так называемой локальной алгебры градиентного отображения.

Пусть $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ — гладкая функция от $n$ переменных $x_{1},\ldots ,x_{n}$, имеющая $O\in \mathbb {R} ^{n}$ своей критической точкой. Соответствующее градиентное отображение $\nabla f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ задается формулой $(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto (\partial f/\partial x_{1},\ldots ,\partial f/\partial x_{n}).$ Введем следующие обозначения: $\mathbb {R} [[x_{1},\ldots ,x_{n}]]$ — алгебра формальных степенных рядов от переменных $x_{1},\ldots ,x_{n}$ с центром в $O.$ $I_{\nabla f}=(\partial f/\partial x_{1},\ldots ,\partial f/\partial x_{n})$ — идеал в алгебре гладких функций, порожденный образующими $\partial f/\partial x_{1},\ldots ,\partial f/\partial x_{n}.$ Локальной алгеброй градиентного отображения в точке $O$ называется факторалгебра $\mathbb {R} [[x_{1},\ldots ,x_{n}]]/I_{\nabla f},$ а её размерность $\mu =\dim \,\mathbb {R} [[x_{1},\ldots ,x_{n}]]/I_{\nabla f}$ называется кратностью отображения $f$ в точке $O.$ Шаблон:/рамка В случае, когда функции $\partial f/\partial x_{1},\ldots ,\partial f/\partial x_{n}$ имеют в точке $O$ линейно независимые градиенты (это условие равносильно тому, что гессиан функции $f$ отличен от нуля), кратность $\mu =1$, и критическая точка $O$ называется невырожденной. Случай $n=1$ В этом случае кратность $\mu$ критической точки $O$ может быть определена следующим условием: ${\frac {d^{i}f}{dx^{i}}}(O)=0\quad (\forall i=1,\ldots ,\mu ),\quad {\frac {d^{\mu +1}f}{dx^{\mu +1}}}(O)\neq 0.$ Действительно, так как в этом случае степенной ряд функции $\nabla f={\partial f}/{\partial x}$ начинается с члена $x^{\mu },\,$ то любой элемент $g\in \mathbb {R} [[x]]$ представим в виде $g=p_{\mu -1}+\alpha \cdot \nabla f$, где $\alpha \in \mathbb {R} [[x]]$ и $p_{\mu -1}\,$ — многочлен степени $\mu -1,\,$ задаваемый $\mu \,$ коэффициентами, т.е. $\dim \,\mathbb {R} [[x]]/I_{\nabla f}=\mu .$ Теорема Тужрона в этом случае принимает тривиальный вид: в окрестности критической точки конечной кратности $\mu$ существуют координаты, в которых функция имеет вид $f(x)=x^{\mu +1}.\,$ Теорема деления Пусть $f:\mathbb {R} ^{n+1}\to \mathbb {R}$ — гладкая функция от $n+1$ переменной $x,y_{1},\ldots ,y_{n}$, имеющая точку $0\in \mathbb {R} ^{n+1}$ своей критической точкой кратности $\mu \,$ по переменной $x\,$, т.е. ${\frac {\partial ^{i}f}{\partial x^{i}}}(0)=0\quad (\forall i=1,\ldots ,\mu ),\quad {\frac {\partial ^{\mu +1}f}{\partial x^{\mu +1}}}(0)\neq 0.\quad \ (*)$ Тогда в окрестности точки $0$ функция $f$ представима в виде $f(x,y_{1},\ldots ,y_{n})=\varphi (x,y_{1},\ldots ,y_{n})\cdot {\Bigl (}x^{\mu +1}+\sum _{i=0}^{\mu }a_{i}(y_{1},\ldots ,y_{n})x^{\mu -i}{\Bigr )},\quad \ (**)$ где $\varphi$ и $a_{i}\,$ — гладкие функции своих аргументов, $a_{i}(0,\ldots ,0)=0\,$ и $\varphi (x,y_{1},\ldots ,y_{n})$ не обращается в нуль. Впервые эта теорема была доказа Вейерштрассом для голоморфных функциий комплексных переменных (теорема деления по Вейерштрассу). Приведённый выше вещественный аналог часто называют теоремой деления по Мальгранжу или по Мазеру. Из теоремы деления вытекает следующее полезное следствие: Следствие. Если росток гладкой функции $f(x,y_{1},\ldots ,y_{n})$ обращается в нуль на гиперплоскости $x=0$, то он представим в виде $f=xg(x,y_{1},\ldots ,y_{n}),$ где $g$ — гладкая функция. Доказательство. Докажем утверждение для функции $f(x,y_{1},\ldots ,y_{n}),$ удовлетворяющей условию (*) с некоторым конечным $\mu >0$. Добиться выполнения этого условия можно всегда, прибавив к функции $f$ многочлен $c_{\mu }x^{\mu }+\cdots +c_{1}x$, что, очевидно, не меняет доказываемого утверждения. Тогда в окрестности точки $0$ функция $f$ представима в виде (**), где стоящее в скобках выражение тождественно обращается в нуль при $x=0$. Отсюда следует, что $a_{\mu }(y_{1},\ldots ,y_{n})\equiv 0$. Вынося за скобки общий множитель $x$, получаем требуемое представление функции $f$. См. также Критическая точка (математика) Лемма Морса. Теорема Тужрона Литература Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — Любое издание. Брёкер Т., Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы, — Любое издание. Голубицкий М., Гийемин В. Устойчивые отображения и их особенности, — М.: Мир, 1977. Хёрмандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных, — М.: Мир, 1968. Сборник статей: Особенности дифференцируемых отображений, — М.: Мир, 1968.