Кратность критической точки

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Кратность критической точки -гладкой функции размерность так называемой локальной алгебры градиентного отображения этой функции в рассматриваемой точке.

Определение[править | править код]

Пусть -гладкая функция от переменных , имеющая своей критической точкой. Соответствующее градиентное отображение задается формулой Введем следующие обозначения:

  • алгебра формальных степенных рядов от переменных с центром в
  • идеал в алгебре гладких функций, порожденный образующими

Сопоставляя каждой гладкой функции её формальный ряд Тейлора, мы получаем вложение в алгебру . Локальной алгеброй градиентного отображения в точке называется факторалгебра а её размерность называется кратностью функции в точке

В случае, когда функции имеют в точке линейно независимые градиенты (это условие равносильно тому, что гессиан функции отличен от нуля), кратность , и критическая точка называется невырожденной. Удобно также положить в случае некритической точки.

Функции одной переменной[править | править код]

В этом случае , и кратность критической точки может быть определена условием:

при этом значение соответствует некритической точке. Действительно, так как в этом случае степенной ряд функции начинается с члена то любой элемент представим в виде , где и — многочлен степени задаваемый коэффициентами, т.е.

Теорема Тужрона в этом случае принимает тривиальный вид: в окрестности критической точки конечной кратности существуют координаты, в которых функция имеет вид

Функции нескольких переменных[править | править код]

В этом случае важной характеристикой критической точки является ранг матрицы Гессе в точке .

  • Если , то (по лемме Морса) в окрестности точки функция с помощью выбора гладких локальных координат приводится к виду
  • Если , то в окрестности точки функция с помощью выбора гладких локальных координат приводится к виду
и, если кратность функции равна , то приводится к виду
  • Если , то в окрестности точки функция с помощью выбора гладких локальных координат приводится к виду
где ряд Тейлора функции начинается с мономов степени
  • Если кубическая часть функции имеет три различных (вещественных или комплексных) корня, то приводится к виду
  • Если кубическая часть функции имеет два различных корня (один из них — кратный), то, при выполнении дополнительного условия общности положения, функция приводится к виду

Теорема деления[править | править код]

Пусть — гладкая функция от переменной , имеющая точку своей критической точкой конечной кратности по переменной , т.е.

Тогда в окрестности точки функция представима в виде

где и — гладкие функции своих аргументов, не обращается в нуль и для всех .

Впервые эта теорема была доказа Вейерштрассом для голоморфных функциий комплексных переменных[1] (теорема деления по Вейерштрассу). Приведённый выше вещественный аналог часто называют теоремой деления по Мальгранжу или по Мазеру.

Критические точки отображений[править | править код]

Кратность критической точки -гладкого отображения — это размерность локальной алгебры данного отображения.

Пусть -гладкое отображение, имеющее своей критической точкой. Отображение задается набором функций от переменных .

Введем следующие обозначения:

  • алгебра формальных степенных рядов от переменных с центром в
  • идеал в алгебре гладких функций, порожденный образующими

Сопоставляя каждой гладкой функции её формальный ряд Тейлора, мы получаем вложение в алгебру . Локальной алгеброй отображения в точке называется факторалгебра а её размерность называется кратностью отображения в точке

См. также[править | править код]

Литература[править | править код]

  • Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — Любое издание.
  • Брёкер Т., Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы, — Любое издание.
  • Голубицкий М., Гийемин В. Устойчивые отображения и их особенности, — М.: Мир, 1977.
  • Хёрмандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных, — М.: Мир, 1968.
  • Сборник статей: Особенности дифференцируемых отображений, — М.: Мир, 1968.
  • Паламодов В.П. О кратности голоморфного отображения, — Функц. анализ и его прил., 1:3 (1967), стр. 54–65.
  • Арнольд В. И. Замечание о подготовительной теореме Вейерштрасса, — Функц. анализ и его прил., 1:3 (1967), стр. 1–8.

Примечания[править | править код]

  1. Weierstrass K. Einige auf die Theorie der analytischen Functionen mehrerer Veränderlichen sich beziehende Sätze. — Mathematische Werke, V. II, Mayer und Müller, Berlin, 1895, 135–188.