P-волна

Р-волны представляют собой тип упругих волн, которые могут проходить через газы (как звуковые волны), твёрдые тела и жидкости. Название Р-волны часто по ошибке путают с первичными волнами, так как они имеют самую высокую скорость $v_{p}$, следовательно, они регистрируются первыми в записи сейсмограммы, так же её называют волной сжатия, так как она представляет собой череду сжатий и разрежений (см. рис 1.).

Рисунок 1.Движение в продольной волне

Основные свойства

Это продольная волна, вектор её распространения параллелен вектору поляризации. На рисунке 2 можно наблюдать поляризацию Р-волны и вектор её распространения.

Рисунок 2.Поляризация Р-волны и направление волнового вектора

Уравнение на смещение для плоской гармонической Р-волны: $u_{p}=A{\begin{pmatrix}\sin(i)\\0\\-\cos(i)\end{pmatrix}}exp(i\omega ({\frac {\sin(i)}{v_{p}}}x-{\frac {\cos(i)}{v_{p}}}z-t))$

Скорость P-волн в однородной изотропной среде выражается:

$v_{p}={\sqrt {\frac {K+{\frac {4}{3}}\mu }{\rho }}}={\sqrt {\frac {\lambda +2\mu }{\rho }}}$

где K это объёмный модуль (модуль несжимаемости), $\mu$ это модуль сдвига (модуль жёсткости, иногда обозначается как G и также называется параметром Ламе), $\rho$ это плотность среды, через которую проходит волна, и $\lambda$ это первый параметр Ламе. Из них видно, что скорость зависит от изменения K и μ.

Упругий модуль^{[неизвестный термин]} P-волны, $M$, определяется как $M=K+4\mu /3$ и тем самым

$v_{p}={\sqrt {M/\rho }}.\$

Типичные значения для скоростей Р-волн во время землетрясений находятся в диапазоне от 5 до 8 км/с (точное значение скорости варьируется в зависимости от региона недр Земли, от 6 км/с в земной коре до 13 км/с через ядро). Скорость продольной волны всегда выше скорости поперечной волны, что видно на сейсмограммах (см.рис 3.)

Рисунок 3. Сейсмограмма землетрясения

Преломление Р-волны на границе двух упругих сред

Для анализа волнового поля в реальных средах необходимо учитывать наличие границ между средами с разными упругими постоянными и свободную поверхность. Пусть Р-волна падает из среды 1 в среду 2, что видно на рисунке 4, векторами на рисунке обозначено направление смещения соответствующих волн.

Рисунок:4.Падение волны Р на границу двух полупространств

На границе S двух однородных сред из условия отсутствия деформации получаем два непрерывных граничных условия

$\mathbf {u} (\mathbf {r} )|_{S_{-}}=\mathbf {u} (\mathbf {r} )|_{S_{+}},$ ${\hat {\sigma }}{\mathbf {n} }|_{S_{-}}={\hat {\sigma }}{\mathbf {n} }|_{S_{+}},$

где n — вектор нормали к границе S. Первое выражение соответствует непрерывности вектора смещения, а второе отвечает за равенство давлений с обеих сторон $S_{+}$ и $S_{-}$ на границе.

Если Р-волна преломляется на границе, то возникает четыре волны: отражённая и проходящая волна P и отражённая и прошедшая волна SV.

Преломление Р-волны на границе среда-вакуум

В случае, когда упругая среда граничит с вакуумом, вместо двух условий остаётся только одно граничное условие, выражающее тот факт, что давление на границу со стороны вакуума должно равняться нулю:

$\mathbf {u} (\mathbf {r} )|_{S}=0.$

Тогда в случае Р-волны, где А — это амплитуда падающей волны, $c_{s}$ — скорость поперечной волны в среде, $c_{p}$ — скорость продольной волны в среде, i — угол отражения моды P от моды P, j — угол отражения моды S от моды P, получаем $k_{ps}=A{\frac {2c_{p}/c_{s}\sin 2j\cos 2i}{((c_{p})/c_{s})^{2}\cos ^{2}2j+\sin 2j\sin 2i}},$

$k_{pp}=-A{\frac {((c_{p})/c_{s})^{2}\cos ^{2}(2j)-\sin(2j)\sin(2i)}{((c_{p})/c_{s})^{2}\cos ^{2}(2j)+\sin(2j)\sin(2i)}}.$

$k_{ps}$ — это коэффициент отражения моды S от моды P, $k_{pp}$ — это коэффициент отражения моды P от моды P.

См. также

• S-волна

• Продольные волны
• Сейсмические волны

Литература

• Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Теория упругости. — Москва: Наука, т. 7, 1965
• Яновская Т. Б. Основы сейсмологии.-ВВМ, 2006
• Аки К.,Ричардс П. Количественная сейсмология: теория и методы.-М.:Мир,1983
• Сейсморазведка. Справочник геофизика./Под ред. И. И. Гурвича, В. П. Номоконова.- Москва: Недра,1981