Параметры Ламе

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Пара́метры Ламе́ (названные в честь Габриэля Ламе) — материальные константы (нем.), характеристики упругих деформаций изотропных твёрдых тел, модули упругости.

В линейной теории упругости закон Гука выражает линейную зависимость между тензором деформации ε и тензором напряжений σ в упругой среде:

\sigma = 2 \mu \varepsilon + \lambda \; \mathrm{Tr}(\varepsilon)I

Здесь λ называется первым параметром Ламе, а μ (модуль сдвига, Н/м²) — вторым параметром Ламе.

Определение через энергию[править | править исходный текст]

Энергия упругой деформации является квадратичной формой тензора деформации. Из тензора второго ранга можно составить две разные симметричные скалярные комбинации второй степени. Такими скалярами являются  \left(\sum_i \varepsilon_{ii}\right)^2 и  \sum_{i,k} \varepsilon_{ik}^2.

Вклад упругих деформаций в свободную энергию, таким образом, является линейной комбинацией этих двух скаляров с коэффициентами, которые называются параметрами Ламе.

 F = \frac{\lambda}{2} \left(\sum_i \varepsilon_{ii}\right)^2 + \mu \sum_{i,k} \varepsilon_{ik}^2 .

Связь с другими модулями упругости[править | править исходный текст]

Параметр Ламе μ совпадает с модулем сдвига.

Модуль всестороннего сжатия К выражается через параметры Ламе следующим образом:

 K = \lambda + \frac{2}{3}\mu

Через модуль Юнга E и коэффициент Пуассона ν параметры Ламе выражаются следующим образом:

\lambda=\frac{\nu E}{(1+\nu)(1-2\nu)}
\mu=\frac{E}{2(1+\nu)}

Гидродинамика[править | править исходный текст]

В уравнении Навье-Стокса — уравнениях движения сжимаемой жидкости:


 \rho  \mathbf{v}
 =-\nabla p + \eta \Delta \mathbf{v} + (\lambda + \eta) \nabla (\nabla \cdot \mathbf{v})+\mathbf{f}.

коэффициенты динамической вязкости λ и η являются соответственно первым и вторым параметрами Ламе.

Литература[править | править исходный текст]

  • Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. . — Наука., 1987.
п·о·р
Модули упругости для гомогенных изотропных материалов

Объёмный модуль упругости (K) | Модуль Юнга (E) | Параметры Ламе (\lambda) | Модуль сдвига (G) | Коэффициент Пуассона (\nu) | en:P-wave modulus (M)