Теорема Левицкого

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема Левицкого, названная именем израильского математика Яакова Левицкого, утверждает, что в правом Нётеровом кольце любой односторонний ниль-идеал является обязательно нильпотентным[1][2]. Теорема является одним из многих результатов, свидетельствующих о правдивости гипотезы Кёте, и более того, дающих решение на один из вопросов Кёте, как описано в статье Левицкого[3]. Результат был получен в 1939, но опубликован лишь в 1950 году[4]. Относительно простое доказательство дал Утуми в 1963[5].

Доказательство

[править | править код]

Ниже приведена аргументация Утуми (как изложена в статье Лама[6])

Лемма[7]

Предположим, что R удовлетворяет условию обрыва возрастающей цепи[англ.] на аннуляторах[англ.] формы , где a принадлежит R. Тогда

  1. Любой односторонний ниль-идеал содержится в нижнем нильрадикале ;
  2. Любой ненулевой правый нильидеал содержит ненулевой нильпотентный правый идеал.
  3. Любой ненулевой левый нильидеал содержит ненулевой нильпотентный левый идеал.
Теорема Левицкого[8]

Пусть R будет правым нётеровым кольцом. Тогда любой односторонний нильидеал R нильпотентен. В этом случае верхний и нижний нильрадикалы равны и кроме того, этот идеал является наибольшим нильпотентным идеалом среди нильпотентных правых идеалов и среди нильпотентных левых идеалов.

Доказательство: Вследствие леммы выше достаточно показать, что нижний нильрадикал R нильпотентен. Поскольку R является правым нётеровым кольцом, максимальный нильпотентный идеал N существует. Из максимальности N следует, что факторкольцо R/N не имеет ненулевых нильпотентных идеалов, так что R/N является полупростым кольцом. Как результат, N содержит нижний нильрадикал кольца R. Поскольку нижний нильрадикал содержит все нильпотентные идеалы, он содержит и N, а тогда N равен нижнему нильрадикалу.

Примечания

[править | править код]
  1. Herstein, 1968, с. 37 Theorem 1.4.5.
  2. Isaacs, 1993, с. 210 Theorem 14.38.
  3. Levitzki, 1945.
  4. Levitzki, 1950.
  5. Utumi, 1963.
  6. Lam, 2001, с. 164-165.
  7. Lam, 2001, с. Lemma 10.29.
  8. Lam, 2001, с. Theorem 10.30.

Литература

[править | править код]
  • I. Martin Isaacs. Algebra, a graduate course. — 1st. — Brooks/Cole Publishing Company, 1993. — ISBN 0-534-19002-2.
  • Herstein I.N. Noncommutative rings. — 1st. — The Mathematical Association of America, 1968. — ISBN 0-88385-015-X.
  • Lam T.Y. A First Course in Noncommutative Rings. — Springer-Verlag, 2001. — ISBN 978-0-387-95183-6.
  • Jakob Levitzki. On multiplicative systems // Compositio Mathematica. — 1950. — Т. 8. — С. 76–80.
  • Jakob Levitzki. Solution of a problem of G. Koethe // American Journal of Mathematics. — The Johns Hopkins University Press, 1945. — Т. 67, вып. 3. — С. 437–442. — ISSN 0002-9327. — doi:10.2307/2371958. — JSTOR 2371958.
  • Yuzo Utumi. Mathematical Notes: A Theorem of Levitzki // The American Mathematical Monthly. — Mathematical Association of America, 1963. — Т. 70, вып. 3. — С. 286. — ISSN 0002-9890. — doi:10.2307/2313127. — JSTOR 2313127.