Эта статья входит в число добротных статей

Теорема Ньютона о сферической оболочке

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Теоре́ма Нью́тона о сфери́ческой оболо́чке — два утверждения, описывающих гравитационное притяжение тонкой сферической оболочки с равномерно распределённой массой. Первая часть теоремы состоит в том, что такая сфера не придаёт ускорения телам, находящимся внутри неё. Вторая часть состоит в том, что такая сфера определённой массы притягивает внешние тела так же, как и материальная точка такой же массы, расположенная в центре сферы. Теорему доказал Исаак Ньютон.

Из этой теоремы, в частности, следует, что шары со сферически симметричным распределением массы притягиваются друг к другу так же, как и точечные тела.

Теорема Ньютона состоит из двух утверждений, в которых рассматривается сфера произвольного радиуса с равномерно распределённой по поверхности массой . Первое утверждение гласит, что внутри сферы гравитационный потенциал везде одинаков — это означает, что ускорение, которое сфера придаёт телам внутри неё, равняется нулю. Вторая часть теоремы состоит в том, что гравитационный потенциал вне сферы, создаваемый ей, совпадает с гравитационным потенциалом, который бы создавала точечная масса , помещённая в центр сферы взамен её. Это эквивалентно тому, что сфера притягивает внешние тела так же, как и точечная масса , размещённая в центре сферы. Обе части теоремы доказал Исаак Ньютон[1][2].

Для точки внутри сферы ускорения, создаваемые в каждой паре противоположных направлений, уравновешивают друг друга

Первую часть теоремы можно вывести следующим образом. Нужно рассмотреть точку внутри сферы и малый телесный угол , направленный в две противоположные стороны. Площади на поверхности сферы, а значит, и заключённые в них массы и , которые пересекает такой телесный угол, пропорциональны квадрату расстояний от точки до соответствующих участков и . Тогда Следовательно, для каждого малого телесного угла притяжение в противоположных направлениях оказывается одинаковым, а значит, суммарное ускорение всюду внутри сферы также равняется нулю. Поскольку гравитационное ускорение равняется градиенту гравитационного потенциала, то можно равносильно утверждать, что гравитационный потенциал внутри сферы всюду одинаков[3].

При выводе второй части теоремы производится интегрирование потенциала по всем поясам, подобным тому, который отмечен синим цветом

Вторую часть теоремы удобнее доказать, вычисляя гравитационный потенциал в точке вне сферы на расстоянии от её центра. Сначала можно рассмотреть пояс на сфере, который ограничен углами от до между направлениями от центра сферы к точке на ней и направлением на точку . Площадь поверхности такого слоя равняется , поверхностную плотность можно обозначить как . Кроме того, его точки находятся на одном расстоянии от , поскольку пояс симметричен относительно оси, соединяющей центр сферы и точку . Тогда потенциал , который создаётся поясом, выражается как[1][4]:

С учётом известного угла , по теореме косинусов получается равенство[5]:

При дифференцировании обеих частей равенство получится[5]:

Тогда выражение для полного дифференциала потенциала записывается в виде[5]:

Потенциал от всей сферы получвется в виде суммы потенциалов всех поясов. При этом потенциал пропорционален , а от самой близкой к самой далёкой от точки сферы меняется на . Таким образом, при суммировании получается[5][4]:

Это значение соответствует гравитационному потенциалу точечной массы , расположенной на месте центра сферической оболочки. Таким образом, тонкая сферическая оболочка с равномерным распределением массы притягивает тела так же, как точечная масса[5].

Если рассматривать шар, плотность которого зависит только от радиуса, то его можно условно разделить на множество тонких сферических оболочек с общим центром, каждая из которых удовлетворяет условию теоремы Ньютона. Таким образом, можно сделать аналогичный вывод: шар со сферически симметричным распределением массы будет притягивать так же, как и точка той же массы, расположенная на месте центра шара[1]. Следовательно, закон всемирного тяготения для реальных сферически симметричных тел, таких как планеты или звёзды, можно использовать так же, как и для точечных масс[4][6].

Примечания

[править | править код]
  1. 1 2 3 Кононович, Мороз, 2004, с. 71—72.
  2. Binney, Tremaine, 2008, p. 60.
  3. Binney, Tremaine, 2008, p. 61.
  4. 1 2 3 Newton’s Shell Theorem. Kansas State University. Дата обращения: 9 февраля 2023. Архивировано 9 февраля 2023 года.
  5. 1 2 3 4 5 Кононович, Мороз, 2004, с. 72.
  6. Пантелеев В. Л. Физика Земли и планет. 3.3 Гравитационный потенциал шара. ГАИШ МГУ. Дата обращения: 8 февраля 2023. Архивировано 17 декабря 2017 года.

Литература

[править | править код]
  • Кононович Э. В., Мороз В. И. Общий курс астрономии. — 2-е, исправленное. — М.: УРСС, 2004. — 544 с. — ISBN 5-354-00866-2.
  • Binney J., Tremaine S. Galactic Dynamics: Second Edition. — Princeton University Press, 2008. — 903 с. — ISBN 978-0-691-13027-9.