Гравитационный потенциал

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Гравитацио́нный потенциа́л — скалярная функция координат и времени, достаточная для полного описания гравитационного поля в классической механике. Имеет размерность квадрата скорости, обычно обозначается буквой . Гравитационный потенциал равен отношению потенциальной энергии материальной точки, помещённой в рассматриваемую точку гравитационного поля, к массе этой точки. Впервые понятие гравитационного потенциала ввёл в науку Адриен Мари Лежандр в конце XVIII века.

  • В современных теориях гравитации роль гравитационного потенциала играют обычно тензорные поля. Так, в стандартной в наше время теории гравитации — общей теории относительности — роль гравитационного потенциала играет метрический тензор.

Гравитационный потенциал и уравнения движения[править | править вики-текст]

Движение частицы в гравитационном поле в классической механике определяется функцией Лагранжа, имеющей в инерциальной системе отсчета вид:

, где:  — масса частицы,  — координата частицы,  — потенциал гравитационного поля.

Подставляя выражение для лагранжиана L в уравнения Лагранжа:

,

получаем уравнения движения

.

Гравитационный потенциал и принцип эквивалентности[править | править вики-текст]

Уравнения движения частицы в гравитационном поле в классической механике не содержат массы или другой величины, характеризующей частицу. Это является выражением основного свойства гравитационного поля — принципа эквивалентности.

Гравитационный потенциал точечной частицы и произвольного тела[править | править вики-текст]

Гравитационный потенциал точечной частицы равен: , где  — гравитационная постоянная,  — масса частицы,  — расстояние от частицы. Эта же формула справедлива и для гравитационного потенциала любого тела со сферически-симметричным распределением плотности массы внутри него.

Для тела с произвольным распределением плотности массы гравитационный потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона: , где  — оператор Лапласа,  — объёмная плотность распределения массы в рассматриваемой точке. Общее решение этого уравнения имеет вид: где r — расстояние от элемента объёма dV до рассматриваемой точки поля, а интегрирование производится по всему объёму тел, создающих поле. Гравитационный потенциал симметричного тела симметричен.

Гравитационный потенциал и потенциальная энергия[править | править вики-текст]

Потенциальная энергия частицы в гравитационном поле равна её массе, умноженной на потенциал поля. Для потенциальной энергии любого распределения масс справедливо выражение:

где  — плотность массы тела,  — гравитационный потенциал,  — объём тела.

Гравитационный потенциал постоянного гравитационного поля[править | править вики-текст]

Формула для гравитационного потенциала произвольного тела имеет вид:

где  — полная масса системы, а величины:

можно назвать тензором квадрупольного момента масс. Он связан с обычным тензором моментов инерции

очевидными соотношениями

Гравитационный потенциал планет[править | править вики-текст]

В общем случае гравитационный потенциал любого космического тела может быть разложен по сферическим функциям:

Здесь - сферические координаты в точке наблюдений, - полином Лежандра n-го порядка, - присоединенные полиномы Лежандра, - гравитационные моменты[1].

Гравитационный потенциал и гравитационная энергия тела[править | править вики-текст]

Гравитационная энергия тела получается интегрированием выражения (1) по объёму тела с использованием выражения для потенциала (2). Для шара массы m, радиусом a, с равномерным распределением плотности масс, получается значение U гравитационной энергии тела:

Гравитационный потенциал и общая теория относительности[править | править вики-текст]

Основной источник: [2]

В общей теории относительности уравнения движения материальной точки в гравитационном поле имеют вид:

,

где символы Кристоффеля. Здесь метрический тензор, характеризующий гравитационное поле в общей теории относительности.

Из сравнения этих уравнений движения с уравнениями движения ньютоновской механики видно, что в общей теории относительности роль гравитационного потенциала играет метрический тензор.

В случае скоростей, малых по сравнению со скоростью света, и слабых постоянных гравитационных полей уравнения движения принимают вид

для пространственных координат и для временной координаты. Пренебрегая производными по времени, вместо можно подставить и таким образом получить ньютоновские уравнения движения . Здесь гравитационный потенциал и компонента метрического тензора связаны соотношениями

, .

В силу того, что элемент мировой линии покоящихся часов равен , а время , замедление хода часов в гравитационном поле будет

.

Относительное замедление хода времени в точке с меньшим значением гравитационного потенциала по сравнению с временем в точке с большим значением гравитационного потенциала равно разности гравитационных потенциалов в этих точках, делённой на квадрат скорости света.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Внутреннее строение Земли и планет, 1978, с. 46.
  2. В. Паули Теория относительности, М., ОГИЗ, 1947, тир. 16000 экз., 300 стр.

Литература[править | править вики-текст]

  1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. «Теоретическая физика», учебное пособие для вузов, в 10 т. / т. 1, «Механика», 5-е изд., стереотип., М., «Физматлит», 2002, 224 с., ISBN 5-9221-0055-6 (т. 1), гл. 1 «Уравнения движения», п. 2 «Принцип наименьшего действия», с. 10-14;
  2. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. «Теоретическая физика», уче. пособ. для вузов, в 10 т. / т. 2, «Теория поля», 8-е изд., стереотип., М., «Физматлит», 2001, 536 с., ISBN 5-9221-0056-4 (т. 2), гл. 10 «Частица в гравитационном поле», п. 81 «Гравитационное поле в нерелятивистской механике», с. 304—306; гл. 12 «Поле тяготеющих тел», п. 99 «Закон Ньютона», с. 397—401;
  3. С. Вейнберг «Гравитация и космология», Принципы и приложения общей теории относительности, пер. с англ. В. М. Дубовика и Э. А. Тагирова, под ред. Я. А. Смородинского, «Платон», 2000, ISBN 5-80100-306-1, ч. 2 «Общая теория относительности», гл. 3 «Принцип эквивалентности», п. 4 «Ньютоновское приближение», с. 92-93;
  4. К. В. Холшевников, И. И. Никифоров Свойства гравитационного потенциала в примерах и задачах: Учебное пособие. — С-Пб., 2008. — 72 с., ББК 22.6.
  5. Жарков В. Н. Внутреннее строение Земли и планет. — М.: Наука, 1978. — 192 с.