Гравитационный потенциал

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Гравитацио́нный потенциа́лскалярная функция координат и времени, достаточная для полного описания гравитационного поля в классической механике. Имеет размерность квадрата скорости, обычно обозначается буквой . Гравитационный потенциал в точке пространства, задаваемой радиус-вектором , равен отношению потенциальной энергии небольшого тела, помещённого в эту точку, к массе тела . Как и потенциальная энергия, гравитационный потенциал всегда определяется с точностью до постоянного слагаемого, обычно подбираемого таким образом, чтобы потенциал на бесконечности оказался нулевым.

Впервые понятие гравитационного потенциала ввёл в науку Адриен Мари Лежандр в конце XVIII века.

В современных теориях гравитации роль гравитационного потенциала обычно играют тензорные поля. Так, в стандартной в настоящее время теории гравитации — общей теории относительности — роль гравитационного потенциала играет метрический тензор.

Гравитационный потенциал и уравнения движения[править | править код]

Движение частицы в гравитационном поле в классической механике определяется функцией Лагранжа, имеющей в инерциальной системе отсчета вид:

где: масса частицы, обобщённая координата частицы, — потенциал гравитационного поля.

Подставляя выражение для лагранжиана в уравнения Лагранжа:

получаем уравнения движения

Уравнения движения частицы в гравитационном поле в классической механике не содержат массы или другой величины, характеризующей частицу. Этот факт является отражением принципа эквивалентности сил гравитации и инерции.

Гравитационный потенциал точечной массы и произвольного тела[править | править код]

Гравитационный потенциал, создаваемый точечной массой , расположенной в начале координат, равен

где гравитационная постоянная, — расстояние от начала координат (модуль радиус-вектора ). Через обозначена произвольная константа, опускаемая при выборе на бесконечности.

Эта же формула справедлива для гравитационного потенциала вне любого тела со сферически-симметричным распределением массы. Примером может быть однородный шар или тонкая сфера. (Примечание: внутри сферы потенциал равен потенциалу сферы , где — радиус сферы).

В общем случае, гравитационный потенциал, создаваемый произвольным распределением массы (плотность зависит от координат произвольным образом), удовлетворяет уравнению Пуассона

где оператор Лапласа. Решение такого уравнения имеет вид

Здесь — радиус-вектор точки, в которой ищется потенциал, а — радиус-вектор бесконечно малого элемента объёма с плотностью вещества ; интегрирование выполняется по всему объёму тел, создающих поле.

Гравитационный потенциал и гравитационная энергия[править | править код]

Потенциальная энергия частицы, находящейся в гравитационном поле в точке , равна потенциалу поля в этой точке, умноженному на массу частицы :

Под гравитационной энергией системы тел (дискретных частиц) понимается потенциальная энергия, обусловленная взаимным гравитационным тяготением этих частиц. Она равна половине суммы потенциальных энергий отдельных частиц; деление на два позволяет избежать двукратного учёта одних и тех же взаимодействий. Например, для пары материальных точек на расстоянии друг от друга

здесь — потенциальная энергия первой точки в поле второй, а — второй в поле первой.

Аналогично, для гравитационной энергии непрерывного распределения масс справедливо выражение:

где — плотность массы, — гравитационный потенциал, вычисляемый по формулам из предыдущего раздела, — объём тела. Так, гравитационная энергия шара массой и радиуса , с равномерным распределением плотности, составляет .

Разложения гравитационного потенциала в ряд[править | править код]

В целях вычисления гравитационного потенциала произвольной системы масс на больших расстояниях от неё можно произвести разложение:

где — полная масса системы, а величины:

формируют тензор квадрупольного момента масс. Он связан с обычным тензором моментов инерции

очевидными соотношениями

Возможно также разложение по сферическим функциям, применяющееся, в частности, при анализе гравитационных полей космических тел:

Здесь — сферические координаты точки наблюдения, — полином Лежандра n-го порядка, — присоединённые полиномы Лежандра, — гравитационные моменты[1].

Гравитационный потенциал и общая теория относительности[править | править код]

Основной источник: [2]

В общей теории относительности уравнения движения материальной точки в гравитационном поле имеют вид:

где символы Кристоффеля. Здесь метрический тензор, характеризующий гравитационное поле в общей теории относительности.

Из сравнения этих уравнений движения с уравнениями движения ньютоновской механики видно, что в общей теории относительности роль гравитационного потенциала играет метрический тензор.

В случае скоростей, малых по сравнению со скоростью света, и слабых постоянных гравитационных полей уравнения движения принимают вид

для пространственных координат и для временной координаты. Пренебрегая производными по времени, вместо можно подставить и таким образом получить ньютоновские уравнения движения

Здесь гравитационный потенциал и компонента метрического тензора связаны соотношениями

,

В силу того, что элемент мировой линии покоящихся часов равен , а время , замедление хода часов в гравитационном поле будет

Относительное замедление хода времени в точке с меньшим значением гравитационного потенциала по сравнению с временем в точке с большим значением гравитационного потенциала равно разности гравитационных потенциалов в этих точках, делённой на квадрат скорости света.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Внутреннее строение Земли и планет, 1978, с. 46.
  2. Паули В. Теория относительности.— М.: ОГИЗ.— 1947, тир. 16000 экз.— 300 с.

Литература[править | править код]

  • Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика, учебное пособие для вузов, в 10 т. / т. 1, «Механика», 5-е изд., стереотип., М.: Физматлит.— 2002.— 224 с., ISBN 5-9221-0055-6 (т. 1), гл. 1 «Уравнения движения», п. 2 «Принцип наименьшего действия», с. 10—14;
  • Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика, учебное пособие для вузов, в 10 т. / т. 2, «Теория поля», 8-е изд., стереотип., М.: Физматлит.— 2001.— 536 с., ISBN 5-9221-0056-4 (т. 2), гл. 10 «Частица в гравитационном поле», п. 81 «Гравитационное поле в нерелятивистской механике», с. 304—306; гл. 12 «Поле тяготеющих тел», п. 99 «Закон Ньютона», с. 397—401;
  • Вейнберг С. Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности, пер. с англ. В. М. Дубовика и Э. А. Тагирова, под ред. Я. А. Смородинского, «Платон», 2000, ISBN 5-80100-306-1, ч. 2 «Общая теория относительности», гл. 3 «Принцип эквивалентности», п. 4 «Ньютоновское приближение», с. 92-93;
  • Холшевников К. В., Никифоров И. И. Свойства гравитационного потенциала в примерах и задачах: Учебное пособие. — С-Пб., 2008.— 72 с., ББК 22.6.
  • Жарков В. Н. Внутреннее строение Земли и планет. — М.: Наука, 1978. — 192 с.