Теорема косинусов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Triangle with notations 2.svg

Теорема косинусов (для треугольника) — теорема евклидовой геометрии, обобщающая теорему Пифагора.

Для плоского треугольника со сторонами a, b, c и углом \alpha, противолежащим стороне a, справедливо соотношение:

 a^2 = b^2 + c^2 - 2\cdot b \cdot c \cdot \cos \alpha .

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними[1]


Следствие из теоремы косинусов[править | править вики-текст]

  • Теорема косинусов может быть использована для нахождения косинуса угла треугольника
    \cos{\alpha} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}
В частности,
  • Если  b^2 + c^2 - a^2 > 0, угол α — острый
  • Если  b^2 + c^2 - a^2 = 0, угол α — прямой (если угол α прямой, то теорема косинусов становится теоремой Пифагора)
  • Если  b^2 + c^2 - a^2 < 0, угол α — тупой

Две модификации теоремы косинусов (для треугольника)[править | править вики-текст]

В планиметрии известны две простые модификации теоремы косинусов, которые используются при доказательстве и выводе некоторых известных формул (см. с. 51, ф. (1.11-2)) [2].

Для плоского треугольника со сторонами a, b, c и углом \alpha, противолежащим стороне a, справедливы два соотношения:

 a^2 = (b + c)^2 - 4\cdot b \cdot c \cdot \cos^2 (\alpha/2) ,
 a^2 = (b - c)^2 + 4\cdot b \cdot c \cdot \sin^2 (\alpha/2) .


Доказательства[править | править вики-текст]

Последние две формулы мгновенно следуют из основной формулы теоремы косинусов (см. в рамке выше), если в правой ее части воспользоваться формулами разложения квадрата суммы (для второй формулы - квадрата разности) двух членов на квадратный трехчлен, являющийся полным квадратом. Для получения окончательного результата (двух формул выше) в правой части надо еще воспользоваться известными тригонометрическими формулами:

 1+\cos \alpha = 2\cdot\cos^2 (\alpha/2) ,
 1 - \cos \alpha=2\cdot\sin^2 (\alpha/2) .

Кстати, вторая формула формально не содержит косинусов, но ее все равно именуют теоремой косинусов.

Следствия[править | править вики-текст]

  • Находя из двух последних формул в явном виде \cos (\alpha/2) и  \sin (\alpha/2), получим известные формулы геометрии, имеющиеся в справочниках (см. с. 51, ф. (1.11-5)) [3]:

\cos \frac{\alpha}{2}= \sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}};
 \sin \frac{\alpha}{2}= \sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}, где p - полупериметр.


  • Найдя в явном виде \cos (\alpha/2) и  \sin (\alpha/2) и беря отношение  \sin (\alpha/2) / \cos (\alpha/2) = \operatorname{tg} (\alpha/2) , получим известную формулу геометрии для тангенса половинного угла, имеющуюся в справочниках.(см. с. 51, ф. (1.11-5)) [4]:

 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}} , где p - полупериметр.

  • Наконец, используя правые части формул для \cos (\alpha/2) и  \sin (\alpha/2) и известную формулу площади треугольника: S_{\triangle ABC}=\frac {1}{2} bc \sin \alpha , а также известную формулу синуса двойного угла  \sin \alpha = 2 \sin (\alpha/2) \cos (\alpha/2) после небольших преобразований получим известную формулу Герона для площади треугольника: S_{\triangle ABC}= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, где p - полупериметр.

История[править | править вики-текст]

Утверждения, обобщающие теорему Пифагора и эквивалентные теореме косинусов, были сформулированы отдельно для случаев острого и тупого угла в 12 и 13 предложениях II книги «Начал» Евклида.

Утверждения, эквивалентные теореме косинусов для сферического треугольника, применялись в сочинениях ал-Баттани.[5]:105 Теорему косинусов для сферического треугольника в привычном нам виде сформулировал Региомонтан, назвав её «теоремой Альбатегния» по имени ал-Баттани.

В Европе теорему косинусов популяризовал Франсуа Виет в XVI столетии. В начале XIX столетия её стали записывать в принятых по сей день алгебраических обозначениях.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Для евклидовых нормированных пространств[править | править вики-текст]

Пусть в евклидовом пространстве E задана норма, ассоциированная со скалярным произведением, то есть \left\Vert \vec{a} \right\Vert = \sqrt{(\vec{a}, \vec{a})}. Тогда теорема косинусов формулируется следующим образом:

Теорема.
\left\Vert \vec{a}-\vec{b} \right\Vert^2 = \left\Vert \vec{a} \right\Vert ^2 + \left\Vert \vec{b} \right\Vert ^2 - 2(\vec{a},\vec{b})


Четырёхугольник[править | править вики-текст]

Возводя в квадрат тождество \overline{AD}=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD} можно получить утверждение, иногда называемое теоремой косинусов для четырёхугольников:

d^2=a^2+b^2+c^2-2ab\cos\angle B-2ac\cos\omega-2bc\cos\angle C, где \omega — угол между прямыми AB и CD.

Или иначе:

d^2=a^2+b^2+c^2-2ab\cos\angle B+2ac\cos(\angle A+\angle D)-2bc\cos\angle C
Формула справедлива и для тетраэдра, под w подразумевается угол между скрещивающимися ребрами.
С помощью неё можно найти косинус угла между скрещивающимися ребрами a и c зная все ребра тетраэдра:
cos w =(b^2+d^2-e^2-f^2)/2ac
Где b и d, e и f пары скрещивающихся ребер тетраэдра.

Симплексы[править | править вики-текст]

S_i S_j \cos\angle A = \frac{(-1)^{(n-1+i+j)}}{2^{n-1} ((n-1)!)^2} \begin{vmatrix}
0 & 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\
1 & 0 & d_{12}^2 & d_{13}^2 & \dots & d_{1n}^2 \\
1 & d_{21}^2 & 0 & d_{23}^2 & \dots & d_{2n}^2 \\
1 & d_{31}^2 & d_{32}^2 & 0 & \dots & d_{3n}^2 \\
\vdots&\vdots&\vdots & \vdots & \ddots& \vdots \\
1 & d_{n1}^2 & d_{n2}^2 & d_{n3}^2 & \dots & 0 \\
\end{vmatrix}

при этом мы должны зачеркнуть строку и столбец, где находится d_{ij} или d_{ji}.

A — угол между гранями S_i и S_j , S_i -грань, находящаяся против вершины i,d_{ij}- расстояние между вершинами i и j.

Косвенный аналог теоремы косинусов для четырехугольника[править | править вики-текст]

Четырехугольник

Соотношение Бретшнайдера — соотношение в четырёхугольнике, косвенный аналог теоремы косинусов:

Между сторонами a, b, c, d и противоположными углами \angle A,\angle C и диагоналями e, f простого (несамопересекающегося) четырёхугольника выполняется соотношение:

e^2f^2=a^2c^2+b^2d^2-2abcd\cos(\angle A+\angle C)

Следствия[править | править вики-текст]

  • Если четырёхугольник вырождается в треугольник, и одна вершина попадает на сторону, то получается теорема Стюарта.
  • Однако сама теорема косинусов для треугольника (см. выше) из соотношения Бретшнайдера непосредственно не следует.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Геометрия 7-9: учеб. для общеобразоват. учреждений / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. — 15-е изд. — М.: Просвещение, 2005. — с. 257. — 384 с.: ил. — ISBN 5-09-014398-6
  2. Корн Г.А., Корн Т.М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1974. — 832 с.
  3. Корн Г.А., Корн Т.М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1974. — 832 с.
  4. Корн Г.А., Корн Т.М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1974. — 832 с.
  5. Florian Cajori, A History of Mathematics, 5th edition 1991