Теорема косинусов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Стандартные обозначения
Стандартные обозначения углов и сторон треугольника

Теорема косинусов — теорема евклидовой геометрии, обобщающая теорему Пифагора на произвольные плоские треугольники.

Формулировка[править | править вики-текст]

Для плоского треугольника со сторонами и углом , противолежащим стороне , справедливо соотношение:

.

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними[1]

Доказательства[править | править вики-текст]

Следствия из теоремы косинусов[править | править вики-текст]

  • Теорема косинусов может быть использована для нахождения косинуса угла треугольника
В частности,
  • Если , угол α — острый
  • Если , угол α — прямой (если угол α прямой, то теорема косинусов становится теоремой Пифагора)
  • Если , угол α — тупой
  • Теорема косинусов может быть записана также в следующем виде[2]:
,
.
  • Находя из двух последних формул в явном виде и , получим известные формулы геометрии[2]:
    , , , где p — полупериметр.
  • Наконец, используя правые части формул для и и известную формулу площади треугольника: , а также известную формулу синуса двойного угла после небольших преобразований получим известную формулу Герона для площади треугольника: , где p — полупериметр.

Теорема косинусов для других углов[править | править вики-текст]

Теорема косинусов для двух других углов имеет вид:

Из этих и из основной формулы могут быть выражены углы:

История[править | править вики-текст]

Утверждения, обобщающие теорему Пифагора и эквивалентные теореме косинусов, были сформулированы отдельно для случаев острого и тупого угла в 12 и 13 предложениях II книги «Начал» Евклида.

Утверждения, эквивалентные теореме косинусов для сферического треугольника, применялись в сочинениях ал-Баттани.[3]:105 Теорему косинусов для сферического треугольника в привычном нам виде сформулировал Региомонтан, назвав её «теоремой Альбатегния» по имени ал-Баттани.

В Европе теорему косинусов популяризовал Франсуа Виет в XVI столетии. В начале XIX столетия её стали записывать в принятых по сей день алгебраических обозначениях.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Для евклидовых нормированных пространств[править | править вики-текст]

Пусть в евклидовом пространстве задана норма, ассоциированная со скалярным произведением, то есть . Тогда теорема косинусов формулируется следующим образом:

Теорема.


Теорема косинусов для четырёхугольников[править | править вики-текст]

Возводя в квадрат тождество можно получить утверждение, иногда называемое теоремой косинусов для четырёхугольников:

, где  — угол между прямыми AB и CD.

Или иначе:

Формула справедлива и для тетраэдра, под подразумевается угол между скрещивающимися ребрами.
С помощью неё можно найти косинус угла между скрещивающимися ребрами и зная все ребра тетраэдра:
Где и , и пары скрещивающихся ребер тетраэдра.

Косвенный аналог теоремы косинусов для четырехугольника[править | править вики-текст]

Четырехугольник

Соотношение Бретшнайдера — соотношение в четырёхугольнике, косвенный аналог теоремы косинусов:

Между сторонами a, b, c, d и противоположными углами и диагоналями e, f простого (несамопересекающегося) четырёхугольника выполняется соотношение:

Если четырёхугольник вырождается в треугольник, и одна вершина попадает на сторону, то получается теорема Стюарта. Однако сама теорема косинусов для треугольника из соотношения Бретшнайдера непосредственно не следует.

Симплексы[править | править вики-текст]

при этом мы должны зачеркнуть строку и столбец, где находится или .

A — угол между гранями и , -грань, находящаяся против вершины i,- расстояние между вершинами i и j.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия 7—9: учеб. для общеобразоват. учреждений — 15-е изд. — М.: Просвещение, 2005. — С. 257. — 384 с.: ил. — ISBN 5-09-014398-6
  2. 1 2 Корн Г. А., Корн Т. М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1974. — С. 51. — 832 с.
  3. Florian Cajori. A History of Mathematics — 5th edition 1991