Теорема Пэли — Винера

Теорема Пэли — Винера — совокупность всех целых функций $f(z)$ экспоненциального типа $\leq \sigma$, для которых $\int _{-\infty }^{+\infty }|f(x)|^{2}dx<\infty$ совпадает с множеством функций $f(z)$, допускающих представление $f(z)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\sigma }^{+\sigma }e^{izu}\phi (u)du$, где $\phi (u)\in L^{2}(-\sigma ,+\sigma )$.

Пояснения

Целой функцией экспоненциального типа называется целая функция $f(z)$, которая при любом $z$ удовлетворяет неравенству вида $|f(z)|\leq Ae^{B|z|}$, где числа A, B от z не зависят. Экспоненциальным типом функции $f(z)$ называется точная нижняя грань значений константы B, при котором имеет место это неравенство. Экспоненциальный тип находится по формуле $\sigma ={\bar {\lim _{|z|\to \infty }}}{\frac {ln|f(z)|}{|z|}}$. Под $L^{2}(-\sigma ,+\sigma )$ понимают совокупность всех измеримых в интервале $(-\sigma ,+\sigma )$ функций, квадрат модуля которых интегрируем в смысле Лебега.

Теорема Пэли — Винера — Шварца для обобщенных функций

Если обобщенная функция $F$ сосредоточена в области $G_{b}:|x|\leq b$, то её преобразованием Фурье является целая аналитическая функция 1-го порядка роста и типа $\leq b$. Наоборот, пусть $f(z)=f(z_{1},...z_{n})$ — целая аналитическая функция 1-го порядка роста и типа $\leq b$, которая возрастает при $|x|\to \infty$ не быстрее некоторой степени $|x|^{q}$, и $(f,\phi )=\int f(x)\phi (x)dx$ — соответствующий этой функции функционал в пространстве $Z$. Тогда преобразование Фурье ${\hat {f}}$ функционала $f$ сосредоточено в области $G_{b}$.

См. также

• Аппроксимация функций
• Преобразование Фурье

Литература

1. Норберт Винер «Я-математик», М., 1964 г., 356 стр., тир. 50000 экз., В 48 51 (09) УДК 510 (092), гл. 8 «Снова дома 1932—1933», с. 160—168;
2. Винер Н., Пэли Р. «Преобразование Фурье в комплексной области», М., Наука, 1964;
3. Н. И. Ахиезер «Лекции по теории аппроксимации», изд. 2-е, М., «Наука», 1965, 517.2 А 95 УДК 517.51, гл. 4 «Некоторые экстремальные свойства целых функций экспоненциального типа», п. 82 «Теорема Винера-Пэли», с. 179-82;
4. «Функциональный анализ», изд. 2, ред. С. Г. Крейн, гл. 10 «Обобщенные функции», п. 4 «Преобразование Фурье обобщенных функций», пп 7 «Теорема Пэли-Винера-Шварца», с 511;