Обобщённая функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Обобщённая фу́нкция или распределе́ние — математическое понятие, обобщающее классическое понятие функции. Потребность в таком обобщении возникает во многих физических и математических задачах.

Понятие обобщённой функции даёт возможность выразить в математически корректной форме такие идеализированные понятия, как плотность материальной точки, точечного заряда, точечного диполя, (пространственную) плотность простого или двойного слоя, интенсивность мгновенного источника и т. д.

С другой стороны, в понятии обобщённой функции находит отражение тот факт, что реально нельзя измерить значение физической величины в точке, а можно измерять лишь её средние значения в малых окрестностях данной точки. Таким образом, техника обобщённых функций служит удобным и адекватным аппаратом для описания распределений различных физических величин. Математика начала ХХ века не имела нужных строгих формализмов для оперирования с новым классом зависимостей величин, открытых в физике.

Важный вклад в формирование нового математического подхода к понятию функции в физике принадлежит Η. Μ. Гюнтеру, который предлагал рассматривать вместо точечных характеристик типа плотности соответствующие функции множеств еще в 1916 году[1] и пытался переосмылить на этой основе понятие решения уравнения математической физики. Однако Н.М. Гюнтер не связывал эти идеи с нарождающимся функциональным анализом и квантовой механикой. Фундаментальные идеи, основанные на использовании пространств финитных функций и принципиально новом понятии обобщенной производной были сформулированы в 1935 году С. Л. Соболевым[2]. К аналогичным идеям самостоятельно через десять лет пришел выдающийся французский математик Л. Шварц, привлекший разработанную к тому времени теорию локально выпуклых пространств и построивший преобразование Фурье обобщенных функций[3]. Соболев и Шварц являются создателями теории распределений — обобщенных функций. Обобщённые функции эмпирически использовались Дираком в его исследованиях по квантовой механике[4][5].

В дальнейшем теория обобщённых функций интенсивно развивалась многими математиками и физиками-теоретиками, главным образом в связи с потребностями теоретической и математической физики и теории дифференциальных уравнений[6].

Определение[править | править вики-текст]

Формально обобщённая функция определяется как линейный непрерывный функционал над тем или иным векторным пространством достаточно «хороших функций» (так называемых основных функций): [7].

Условие линейности: .

Условие непрерывности: если , то .

Важным примером основного пространства является пространство  — совокупность финитных -функций на , снабжённая естественной для неё топологией: последовательность функций из сходится, если их носители принадлежат фиксированному шару и в нём они -сходятся.

Сопряжённое пространство к есть пространство обобщённых функций .

Сходимость последовательности обобщённых функций из определяется как слабая сходимость функционалов из , то есть , в означает, что , для любой .

Для того, чтобы линейный функционал на был обобщённой функцией, то есть , необходимо и достаточно, чтобы для любого ограниченного открытого множества существовали числа и такие, что

для всех с носителем в .

Если в неравенстве число можно выбрать не зависящим от , то обобщённая функция имеет конечный порядок; наименьшее такое называется порядком .

Простейшими примерами обобщённых функций являются функционалы, порождаемые локально суммируемыми функциями

Обобщённые функции, определяемые локально суммируемыми функциями по этой формуле, называются регулярными; остальные обобщённые функции называются сингулярными.

Обобщённые функции вообще говоря, не имеют значений в отдельных точках. Тем не менее можно говорить о совпадении обобщённой функции с локально суммируемой функцией на открытом множестве: обобщённая функция из совпадает в с локально суммируемой в функцией , если

для всех с носителем в . В частности, при получается определение того, что обобщённая функция обращается в нуль внутри .

Множество точек, ни в какой окрестности которых обобщённая функция не обращается в ноль, называется носителем обобщённой функции и обозначается . Если компактен, то обобщённая функция называется финитной.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Любая локально конечная мера определяет обобщённую функцию
В частности,
Она описывает плотность массы 1, сосредоточенной в точке . -функция имеет порядок 1.
  • Поверхностная -функция. Пусть  — кусочно гладкая поверхность и  — непрерывная функция на . Обобщённая функция определяется равенством
При этом  — сингулярная обобщённая функция. Эта обобщённая функция описывает пространственную плотность масс или зарядов, сосредоточенных на поверхности с поверхностной плотностью (плотность простого слоя).
  • Обобщённая функция определяемая равенством
(для гладких финитных функций этому интегралу можно придать смысл) функция сингулярна и её порядок равен 2, однако на открытом множестве она регулярна и совпадает с .

Операции[править | править вики-текст]

Линейные операции над обобщёнными функциями вводятся как расширение соответствующих операций над основными функциями.

Замена переменных[править | править вики-текст]

Пусть и  — гладкая замена переменных. Обобщённая функция определяется равенством

где обозначает якобиан . Эту формулу можно применять в частности к линейному отображению , она позволяет определить трансляционно инвариантные, сферически симметричные, центрально симметричные, однородные, периодические, лоренц-инвариантные и т. д. обобщённые функции.

Произведение[править | править вики-текст]

Чаще всего определяется произведение обобщённых функций на обычные, а произведение обобщённых функций остается неопределенным.

Пусть и . Произведение определяется равенством

Например , . Для обычных локально суммируемых функций произведение совпадает с обычным умножением функций и .

Однако эта операция произведения вообще говоря не допускает распространения на любые обобщённые функции так, чтобы она была ассоциативной и коммутативной.

Действительно, в противном случае получилось бы противоречие:

Впрочем, возможно определить умножение любых обобщённых функций, если снять достаточно жёсткое требование, чтобы сужение этой операции на множество непрерывных функций совпадало с обычным произведением. В частности, Ю. М. Широков построил некоммутативную алгебру обобщённых функций[8][9]. Нынче в Западной Европе и Америке очень популярной (см., напр., список цитированных работ в [10]) является теория обобщённых функций Коломбо (одним из первоисточников которой является книга [11], для первоначального ознакомления с гораздо чаще используемой на практике т.н. "специальной" алгеброй Коломбо можно просмотреть параграф 8.5 из [12]). В рамках этой теории обобщённые функции являются классами эквивалентности некоторой фактор-алгебры. Преимуществом алгебры Коломбо является то, что она как ассоциативна, так и коммутативна. Умножение обобщённых функций Коломбо совпадает с обычным умножением при сужении на множество всех гладких (т.е., бесконечно непрерывно дифференцируемых) функций, несостыковка же с умножением непрерывных (но не гладких) функций разрешается при помощи введения понятия ассоциации (менее строгого, чем понятие эквивалентности). Также рассматриваемое умножение прекрасно согласуется со стандартными операциями классического анализа (напр., дифференцированием).

Дифференцирование[править | править вики-текст]

Пусть . Обобщённая (слабая) производная обобщённой функции определяется равенством

Так как операция линейна и непрерывна из в , то функционал, определяемый правой частью равенства, есть обобщённая функция.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Пространство  — полное: если последовательность обобщённых функций из такова, что для любой функции числовая последовательность сходится, то функционал
принадлежит .
  • Всякая из есть слабый предел функций из . Это свойство иногда берётся в качестве исходного для определения обобщённой функции, из полноты пространства обобщённых функций это приводит к эквивалентному определению.
  • Любая обобщённая функция из бесконечно дифференцируема (в обобщённом смысле).
  • Дифференцирование не увеличивает носителя обобщённой функции.
  • Для обобщённых функций справедлива формула Лейбница для дифференцирования произведения , где .
  • Всякая обобщённая функция из или есть некоторая частная производная от непрерывной функции в .
  • Для любой обобщённой функции порядка с носителем в точке 0 существует единственное представление в виде линейной комбинации частных производных в нуле, с порядком меньшим либо равным .

Примеры[править | править вики-текст]

Дельта-функция получается при вычислении интеграла Фурье от константы:

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Соболев С.Л., Смирнов В.И. Николай Максимович Гюнтер. Библиографический очерк. — М.: ГИТТЛ, 1953. — С. 393-405.
  2. Соболев С.Л. Methode nouvelle a resoundre le probleme de Cauchy pour les equations lineares hyperboliques normales // Математический сборник, № 1 (43)б 1936б 39-72
  3. Schwartz L. Theorie des distributions // I, II, Paris, 1950-1951
  4. Lutzen J. The Prehistory of the Theory of Distribution. — New York etc: Springer Verlag, 1982. — 232 с.
  5. Дирак, П. А. М. Принципы квантовой механики. — М.: Наука, 1979. — С. 480.
  6. И.М.Гельфанд, Г.Е.Шилов. Обобщенные функции и действия над ними.
  7. Шилов, Г. Е. Математический анализ. Второй специальный курс. — М.: Наука, 1965. — С. 16.
  8. Ю. М. Широков, Алгебра одномерных обобщенных функций. — Теоретическая и математическая физика. — 1979. — том 39. — № 3. — стр. 291—301.
  9. Г. К. Толоконников, Ю. М. Широков, Ассоциативная алгебра обобщенных функций, замкнутая относительно дифференцирования и взятия первообразной. - Теоретическая и математическая физика. — 1981. — том 46. — № 3. — стр. 305—309., Г. К. Толоконников. Об Алгебрах Ю. М. Широкова.I — Теоретическая и математическая физика. — 1982. — том 51. — № 3. — стр. 366-375.
  10. Colombeau J. F. Nonlinear Generalized Functions: their origin, some developments and recent advances. - Sao Paulo Journal of Mathematical Sciences. -2013. - V. 7. - No. 2. - P. 201-239.
  11. Colombeau J. F. Elementary Introduction to New Generalized Functions. — Amsterdam: Elsevier Science Publishers B. V., 1985. — 281 с. — ISBN 978-0-444-87756-7.
  12. Colombeau J. F. Multiplication of distributions. Lecture Notes in Math. 1532. — Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1992. — 195 с. — ISBN 3-540-56288-5.

См. также[править | править вики-текст]