Теорема Трахтенброта
Теорема Трахтенброта — теорема о неразрешимости истинности формул логики первого порядка для конечных моделей. Была сформулирована Б. А. Трахтенбротом в 1950 году[1]. Её следствием является существование неограниченного числа формул, выражающих условие (а, следовательно, и определение) конечности множества и среди них имеется неограниченное множество независимых.[2] Также её следствием является отсутствие самой слабой аксиомы бесконечности (для любой аксиомы бесконечности найдется более слабая аксиома бесконечности)[3].
Пояснения[править | править код]
Существует ряд логических формул, выражающих условие конечности множества и, следовательно, являющимися его определениями, например:
- множество конечно, если оно индуктивно;
- множество конечно, если множество всех его подмножеств нерефлексивно[4];
- множество конечно, если оно нерефлексивно;
- множество конечно, если оно не является объединением двух непересекающихся множеств, каждое из которых эквивалентно данному множеству[4].
Следствием теоремы Трахтеброта является существование неограниченного числа таких формул и отсутствие среди них самой слабой и самой сильной[2].
В математической логике формула считается сильнее формулы , если следует из , но не следует из .
Другим следствием теоремы Трахтенброта является отсутствие самой слабой аксиомы бесконечности[3].
Примечания[править | править код]
- ↑ Трахтенброт Б. А. Невозможность алгорифма для проблемы разрешимости на конечных классах // Доклады АН СССР, — 1950. — Т. 70, № 4. — С. 569—572.
- ↑ 1 2 Трахтенброт Б. А. Определение конечного множества и дедуктивная неполнота теории множеств // Изв. АН СССР, сер. мат. — 1956. — Т. 20, № 4. — С. 569—582. — URL: http://mi.mathnet.ru/izv3789
- ↑ 1 2 Черч, 1960, с. 330.
- ↑ 1 2 Френкель, 1966, с. 87.
Литература[править | править код]
- Черч А. Введение в математическую логику. — М.: ИЛ, 1960. — 484 с.
- Френкель А. А., Бар-Хиллел Р. Основания теории множеств. — М.: Мир, 1966. — 555 с.