Теорема о движении центра масс системы

Теоре́ма о движе́нии це́нтра масс (це́нтра ине́рции) системы — одна из теорем динамики, следствие законов Ньютона. Утверждает, что ускорение центра масс системы не зависит от внутренних сил взаимодействия между телами системы, и связывает это ускорение с внешними силами, действующими на систему.

Системой, о которой идёт речь в теореме, может являться любая механическая система, например, совокупность материальных точек, протяжённое тело или совокупность протяжённых тел.

Стандартная формулировка теоремы

Нередко при рассмотрении движения системы полезно знать закон движения её центра масс. В общем случае этот закон, составляющий содержание теоремы о движении центра масс, формулируется следующим образом:

Произведение массы системы на ускорение её центра масс равно геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил.

Доказательство

Пусть система состоит из $N$ материальных точек с массами $m_{i}$ и радиус-векторами ${\vec {r}}_{i}$. Центром масс (центром инерции) называется геометрическая точка, радиус-вектор ${\vec {R}}_{c}$ которой удовлетворяет равенству

${\vec {R}}_{c}={\frac {1}{M}}\displaystyle \sum \limits _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i},\qquad \qquad$

где $M$ — масса всей системы, равная $\sum \limits _{i}m_{i}.$

Дифференцируя два раза по времени, для ускорения центра масс ${\vec {a}}_{c}$ получаем:

${\vec {a}}_{c}={\frac {1}{M}}\displaystyle \sum \limits _{i}m_{i}{\vec {a}}_{i},\qquad \qquad$

где ${\vec {a}}_{i}$ — ускорение материальной точки с номером i.

Для последующего рассмотрения разделим все силы, действующие на тела системы, на два типа:

• внешние — силы, действующие со стороны тел, не входящих в рассматриваемую систему. Равнодействующую внешних сил, действующих на материальную точку с номером i, обозначим ${\vec {F}}_{i}$;
• внутренние — силы, с которыми взаимодействуют друг с другом тела само́й системы. Силу, с которой на точку с номером i действует точка с номером k, будем обозначать ${\vec {f}}_{i,k}$. Соответственно, сила воздействия i-й точки на k-ю точку будет обозначаться ${\vec {f}}_{k,i}$. Для $i=k$ будет ${\vec {f}}_{i,k}=0.$

Используя введённые обозначения, второй закон Ньютона для каждой из рассматриваемых материальных точек можно записать в виде

$m_{i}{\vec {a}}_{i}={\vec {F}}_{i}+\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{i,k}.\qquad \qquad$

Просуммировав такие уравнения для всех i, получим:

$\sum \limits _{i}m_{i}{\vec {a}}_{i}=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}+\sum \limits _{i}\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{i,k}.\qquad \qquad$

Выражение $\sum \limits _{i}\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{i,k}$ представляет собой сумму внутренних сил, действующих в системе. Учтём теперь, что по третьему закону Ньютона в этой сумме каждой силе ${\vec {f}}_{i,k}$ соответствует сила ${\vec {f}}_{k,i}$ такая, что ${\vec {f}}_{i,k}=-{\vec {f}}_{k,i}$ и, значит, выполняется ${\vec {f}}_{i,k}+{\vec {f}}_{k,i}=0.$ Поскольку вся сумма состоит из таких пар, сама сумма равна нулю. Таким образом,

$\sum \limits _{i}m_{i}{\vec {a}}_{i}=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}.\qquad \qquad$

Далее, обозначив $\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}={\vec {F}}$ и подставив полученное выражение в равенство для ${\vec {a}}_{c}$, приходим к уравнению

${\vec {a}}_{c}={\frac {\vec {F}}{M}}\,\,\,$ или $\,\,M{\vec {a}}_{c}={\vec {F}}.\qquad \qquad$

Таким образом, движение центра масс определяется только внешними силами, а внутренние силы никакого влияния на это движение оказать не могут. Последняя формула и является математическим выражением теоремы о движении центра масс системы.

Альтернативная формулировка теоремы

Вид итоговой формулы для ${\vec {a}}_{c}$ в точности тот же, что и у формулы второго закона Ньютона. Отсюда следует справедливость такой формулировки теоремы о движении центра масс:

Центр масс движется так, как двигалась бы материальная точка, масса которой равна массе системы, под действием силы, равной сумме всех внешних сил, действующих на систему.

Закон сохранения движения центра масс

В отсутствие внешних сил, а также при равенстве суммы всех внешних сил нулю, ускорение центра масс равно нулю, и, значит, его скорость постоянна. Таким образом, справедливо утверждение, составляющее содержание закона сохранения движения центра масс:

Если сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то центр масс такой системы движется с постоянной скоростью, т. е. равномерно и прямолинейно.

В частности, если первоначально центр масс покоился, то в указанных условиях он будет покоиться и в дальнейшем.

Из закона сохранения движения центра масс следует, что система отсчёта, связанная с центром масс замкнутой системы, является инерциальной. Использование таких систем отсчёта при изучении механических свойств замкнутых систем предпочтительно, поскольку таким образом исключается из рассмотрения равномерное и прямолинейное движение системы как целого.

Возможны случаи, когда сумма внешних сил нулю не равна, но равна нулю её проекция на какое-либо направление. В этом случае проекция ускорения центра масс на это направление также равна нулю и, соответственно, скорость центра масс вдоль этого направления не изменяется.

Значимость теоремы

Доказанная теорема расширяет и обосновывает возможности использования понятия материальная точка для описания движения тел. Действительно, если тело движется поступательно, то его движение полностью определяется движением центра масс, которое в свою очередь описывается полученным уравнением для ${\vec {a}}_{c}$. Таким образом, поступательно движущееся тело всегда возможно рассматривать как материальную точку с массой, равной массе тела, независимо от его геометрических размеров. Кроме того, тело можно рассматривать как материальную точку и во всех тех случаях, когда в силу условий задачи вращение тела интереса не представляет, а для определения положения тела достаточно знать положение его центра масс.

Практическая ценность теоремы состоит в том, что при решении задачи об определении характера движения центра масс она позволяет полностью исключить из рассмотрения все внутренние силы.

История

Закон сохранения движения центра масс сформулировал Исаак Ньютон в своём знаменитом труде «Математические начала натуральной философии», изданном в 1687 году. И. Ньютон писал: «Центр тяжести системы двух или нескольких тел от взаимодействия тел друг на друга не изменяет ни своего состояния покоя, ни движения; поэтому центр тяжести системы всех действующих друг на друга тел (при отсутствии внешних действий и препятствий) или находится в покое, или движется равномерно и прямолинейно». Далее он делал вывод: «Таким образом, поступательное количество движения отдельного ли тела или системы тел, надо всегда рассчитывать по движению центра тяжести их».

См. также

• Теорема о кинетической энергии системы
• Теорема об изменении количества движения системы