Теорема о кинетической энергии системы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теоре́ма о кинети́ческой эне́ргии систе́мы — одна из общих теорем динамики[1], является следствием законов Ньютона. Связывает кинетическую энергию механической системы с работой сил, действующих на тела, составляющие систему. В качестве системы, о которой идёт речь, может выступать любая механическая система, состоящая из любых тел[2][3].

Формулировка теоремы[править | править вики-текст]

Кинетической энергией системы называют сумму кинетических энергий всех тел, входящих в систему. Для определённой таким образом величины справедливо утверждение[2][3]:

Изменение кинетической энергии системы равно работе всех внутренних и внешних сил, действующих на тела системы.

Доказательство теоремы[править | править вики-текст]

Рассмотрим систему материальных точек с массами , скоростями и кинетическими энергиями . Для малого изменения кинетической энергии (дифференциала), происходящего в течение некоторого малого промежутка времени будет выполняться

Учитывая, что представляет собой ускорение i-ой точки , а  — перемещение той же точки за время , полученное выражение можно записать в виде:

Используя второй закон Ньютона и обозначая равнодействующую всех сил, действующих на точку, как , получаем

а затем в соответствии с определением работы

Суммирование всех уравнений такого вида, записанных для каждой из материальных точек, приводит к формуле для изменения полной кинетической энергии системы:

Данное равенство выражает утверждение теоремы об изменении кинетической энергии системы в дифференциальном виде.

Проинтегрировав обе части полученного равенства по произвольно взятому промежутку времени между некоторыми и , получим выражение теоремы об изменении кинетической энергии в интегральной форме:

где и  — значения кинетической энергии системы в моменты времени и соответственно.

Необходимо подчеркнуть, что здесь, в отличие от случаев теоремы об изменении количества движения системы и теоремы о движении центра масс системы, учитывается действие не только внешних, но внутренних сил.

Закон сохранения механической энергии[править | править вики-текст]

Отдельный интерес представляют системы, в которых на тела действуют потенциальные силы[4]. Для таких сил вводится понятие потенциальной энергии, изменение которой в случае одной материальной точки по определению удовлетворяет соотношению:

где и  — значения потенциальной энергии точки в начальном и конечном состояниях соответственно, а  — работа потенциальной силы, совершаемая при перемещении точки из начального состояния в конечное.

Изменение потенциальной энергии системы получается в результате суммирования изменений энергий всех тел системы:

Если все внутренние и внешние силы, действующие на тела системы, потенциальны[5], то

Подставляя полученное выражение в уравнение теоремы о кинетической энергии, получим:

или, что то же самое

Иначе говоря, получается, что для полной механической энергии системы выполняется

Таким образом, можно сделать вывод:

Если на тела системы действуют только потенциальные силы, то полная механическая энергия системы сохраняется.

Данное утверждение и составляет содержание закона сохранения механической энергии, являющегося следствием теоремы о кинетической энергии и одновременно частным случаем общего физического закона сохранения энергии[2][3].

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Тарг С. М. Динамика // Физическая энциклопедия / Д. М. Алексеев, А. М. Балдин, А. М. Бонч-Бруевич, А. С. Боровик-Романов, Б. К. Вайнштейн, С. В. Вонсовский, А. В. Гапонов-Грехов, С. С. Герштейн, И. И. Гуревич, А. А. Гусев, М. А. Ельяшевич, М. Е. Жаботинский, Д. Н. Зубарев, Б. Б. Кадомцев, И. С. Шапиро, Д. В. Ширков; под общ. ред. А. М. Прохорова. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — Т. 1. — С. 616-617. — 707 с. — 100 000 экз.
  2. 1 2 3 Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. — М.: Высшая школа, 1995. — С. 301-323. — 416 с. — ISBN 5-06-003117-9.
  3. 1 2 3 Журавлёв В. Ф. Основы теоретической механики. — М.: Физматлит, 2001. — С. 70-71. — 319 с. — ISBN 5-95052-041-3.
  4. Напомним, что силы называют потенциальными, если работа, совершаемая ими при перемещении материальной точки, определяется только начальным и конечным положениями точки и не зависит от выбора траектории.
  5. То есть, диссипативные силы отсутствуют.