Теорема о точках плотности

Теорема о точках плотности — результат теории меры, которой интуитивно можно понимать так, что множество «граничных точек» измеримого множества имеет меру ноль.

Формулировка

Обозначим через $\lambda$ меру Лебега на евклидовом пространстве $\mathbb {R} ^{n}$. Пусть $A\subset \mathbb {R} ^{n}$ — измеримое множество. Для произвольной точки $x\in \mathbb {R} ^{n}$ и $\varepsilon >0$ рассмотрим значение

$d_{\varepsilon }(x)={\frac {\lambda (A\cap B_{\varepsilon }(x))}{\lambda (B_{\varepsilon }(x))}}$,

где $B_{\varepsilon }(x)$ обозначает шар с центром в $x$ и радиусом $\varepsilon$. Величина $d_{\varepsilon }(x)$ может интерпретироваться как приблизительная плотность множества $A$ в точке $x$.

Тогда, для почти каждой точки $x\in A$,

$d(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}d_{\varepsilon }(x)$

существует и равен 0 или 1.

Замечания

• Величина $d(x)$, если определена, называется плотностью множества $A$ в точке $x$.
• Другими словами, теорема утверждает, что плотность любого измеримого множества $A\subset \mathbb {R} ^{n}$ принимает значение 0 или 1 почти всюду в $\mathbb {R} ^{n}$.
• Если множество и его дополнение имеют положительную меру, то всегда найдутся точки с плотностью не 0 и не 1.

Примеры

Например, дан квадрат в плоскости, плотность в каждой точке внутри квадрата равна 1, на сторонах 1/2, в вершинах по 1/4, и 0 вне квадрата; границы и вершины имеют меру ноль.

Вариации и обобщения

• Теорема о точках плотности является частным случаем теоремы о дифференциации Лебега.

Литература

• Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. — М., 1974.