Теория изгиба балок Тимошенко

Теория изгиба балок Тимошенко была развита Степаном Прокофьевичем Тимошенко в начале XX века. Модель учитывает сдвиговую деформацию и вращательные изгибы, что делает её применимой для описания поведения толстых балок, сэндвич-панелей и высокочастотных колебаний балок, когда длина волны этих колебаний становится сравнимой с толщиной балки. В отличие от модели изгиба балок Эйлера-Бернулли модель Тимошенко приводит к уравнению четвертого порядка, которое также содержит и частные производные второго порядка. Физически учёт механизмов деформации эффективно снижает жёсткость балки и приводит к большему отклонению при статической нагрузке и к предсказанию меньших собственных частот для заданного набора граничных условий. Последнее следствие наиболее заметно для высоких частот, поскольку длина волны колебаний становится короче и расстояние между противоположно направленными сдвиговыми силами уменьшается.

Если модуль сдвига материала балки положить равным бесконечности (и следовательно запретить балке испытывать сдвиговые деформации) и если пренебречь эффектами инерции на вращение, то модель Тимошенко сводится к обычной теории изгиба балки.

Квазистатическая балка Тимошенко

Сравнение деформации балки по Тимошенко (синий цвет) с деформацией по теории Эйлера-Бернулли (красный цвет).

Деформация балки по Тимошенко. Нормаль поворачивается на угол $\theta _{x}=\varphi (x)$, который не равен $dw/dx$.

В статической теории балки Тимошенко без осевых эффектов смещение балки предполагается заданным в следующем виде: $u_{x}(x,y,z)=-z~\varphi (x)~;~~u_{y}(x,y,z)=0~;~~u_{z}(x,y)=w(x)$ где $(x,y,z)$ задают координаты точки на балке, $u_{x},u_{y},u_{z}$ — компоненты вектора смещения в трех координатных направлениях, $\varphi$ — есть угол вращения нормали по отношению срединной поверхности балки и $w$ — смещение срединной поверхности в направлении оси $z$.

Исходными уравнениями является следующая пара связанных обыкновенных дифференциальных уравнений:

${\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\left(EI{\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}\right)=q(x)\\&{\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}=\varphi -{\frac {1}{\kappa AG}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(EI{\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}\right).\end{aligned}}$

В статическом пределе теория изгиба балки Тимошенко эквивалентна теории изгиба балок Эйлера-Бернулли в случае, когда последним слагаемым можно пренебречь. Это приближение справедливо когда: ${\frac {EI}{\kappa L^{2}AG}}\ll 1$ где

• $L$ — длина балки.
• $A$ — площадь сечения балки.
• $E$ — модуль упругости.
• $G$ — модуль сдвига.
• $I$ — второй момент площади сечения.
• $\kappa$ называется сдвиговым коэффициентом Тимошенко и зависит от формы сечения балки. Для балки прямоугольного сечения $\kappa =5/6$.
• $q(x)$ — распределение нагрузки (сила приложенная к единице длины).

Комбинируя эти два уравнения получаем в случае однородной балки постоянного сечения: $EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x)-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} x^{2}}}$

Изгибающий момент $M_{xx}$ и сдвиговая сила $Q_{x}$ в балке связаны со смещением $w$ и вращением $\varphi$. В случае линейной упругой балки Тимошенко эти связи имеют следующий вид:

$M_{xx}=-EI~{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\quad {\text{и}}\quad Q_{x}=\kappa ~AG~\left(-\varphi +{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)\,.$

Вывод квазистатических уравнений изгиба балок по Тимошенко

Из кинематических предположений для балки Тимошенко смещение балки даётся: $u_{x}(x,y,z,t)=-z~\varphi (x,t)~;~~u_{y}(x,y,z,t)=0~;~~u_{z}(x,y,z)=w(x,t)$ Далее, в случае малых деформаций в рамках предположений Тимошенко можно написать: $\varepsilon _{xx}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}=-z~{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}~;~~\varepsilon _{xz}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}\right)={\frac {1}{2}}\left(-\varphi +{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)$ Поскольку реальные сдвиговые деформации балки непостоянны в пределах сечения, введём корректирующий фактор $\kappa$ такой, что: $\varepsilon _{xz}={\frac {1}{2}}~\kappa ~\left(-\varphi +{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)$ Изменение внутренней энергии балки можно записать в виде: $\delta U=\int _{L}\int _{A}(\sigma _{xx}\delta \varepsilon _{xx}+2\sigma _{xz}\delta \varepsilon _{xz})~\mathrm {d} A~\mathrm {d} L=\int _{L}\int _{A}\left[-z~\sigma _{xx}{\frac {\partial (\delta \varphi )}{\partial x}}+\sigma _{xz}~\kappa \left(-\delta \varphi +{\frac {\partial (\delta w)}{\partial x}}\right)\right]~\mathrm {d} A~\mathrm {d} L$ Зададим: $M_{xx}:=\int _{A}z~\sigma _{xx}~\mathrm {d} A~;~~Q_{x}:=\kappa ~\int _{A}\sigma _{xz}~\mathrm {d} A$ Тогда: $\delta U=\int _{L}\left[-M_{xx}{\frac {\partial (\delta \varphi )}{\partial x}}+Q_{x}\left(-\delta \varphi +{\frac {\partial (\delta w)}{\partial x}}\right)\right]~\mathrm {d} L$ Интегрируя по частям и замечая, что граничные условия обращают изменение энергии на концах балки в нуль, пишем: $\delta U=\int _{L}\left[\left({\frac {\partial M_{xx}}{\partial x}}-Q_{x}\right)~\delta \varphi -{\frac {\partial Q_{x}}{\partial x}}~\delta w\right]~\mathrm {d} L$ Изменение внешней работы, совершенной над балкой поперечной нагрузкой $q(x,t)$ на единицу длины, равно: $\delta W=\int _{L}q~\delta w~\mathrm {d} L$ Тогда для квазистатичной балки принцип виртуальной работы дает: $\delta U=\delta W\implies \int _{L}\left[\left({\frac {\partial M_{xx}}{\partial x}}-Q_{x}\right)~\delta \varphi -\left({\frac {\partial Q_{x}}{\partial x}}+q\right)~\delta w\right]~\mathrm {d} L=0$ Исходные уравнения для балки исходя из фундаментальной теоремы вариационного исчисления обретают вид: ${\frac {\partial M_{xx}}{\partial x}}-Q_{x}=0~;~~{\frac {\partial Q_{x}}{\partial x}}+q=0$ Для линейной упругой балки: ${\begin{aligned}M_{xx}&=\int _{A}z~\sigma _{xx}~\mathrm {d} A=\int _{A}z~E~\varepsilon _{xx}~\mathrm {d} A=-\int _{A}z^{2}~E~{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}~\mathrm {d} A=-EI~{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\\Q_{x}&=\int _{A}\sigma _{xz}~\mathrm {d} A=\int _{A}2G~\varepsilon _{xz}~\mathrm {d} A=\int _{A}\kappa ~G~\left(-\varphi +{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)~\mathrm {d} A=\kappa ~AG~\left(-\varphi +{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)\end{aligned}}$ Следовательно, основные уравнения для балки могут быть записаны в виде: ${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG~\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)&=0\\{\frac {\partial }{\partial x}}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\right]+q&=0\end{aligned}}$ Комбинируя вместе два уравнения, получаем: ${\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)=q\\&{\frac {\partial w}{\partial x}}=\varphi -{\cfrac {1}{\kappa AG}}~{\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)\end{aligned}}$

Краевые (граничные) условия

Два уравнения, которые описывают деформацию балки Тимошенко, должны быть дополнены краевыми (граничными) условиями. Корректно поставленная задача требует задания четырех граничных условий. Обычно граничными условиями являются:

• Двухопорные балки: Смещение $w$ задается равным нулю в местах расположения двух опор. Также нужно задать изгибающий момент $M_{xx}$, приложенный к балке. Вращение $\varphi$ и поперечная сдвиговая сила $Q_{x}$ не заданы.
• Жёстко защемлённая балка (консоль): Смещение $w$ и вращение $\varphi$ задаются равными нулю в месте защемленного конца балки. Если один из концов балки свободен, то сдвиговая сила $Q_{x}$ и изгибающий момент $M_{xx}$ необходимо задать для этого конца.

Пример: Жестко защемленная балка

Жестко защемленная балка Тимошенко со свободным концом при точечной нагрузке

Для жестко защемленной балки один конец защемлен, а другой остается свободным. Будем использовать правовинтовую систему координат, в которой направление оси $x$ считается положительным в направлении вправо, а направление оси $z$ положительно в направлении вверх. Следуя традиционным соглашениям мы предположим, что положительные значения сил направлены в положительном направлении осей $x$ и $z$, а положительные изгибающие моменты действуют по часовой стрелке. Также предположим следующее соглашение о знаках компонент механических напряжений ($M_{xx}$ и $Q_{x}$): положительные изгибающие моменты сжимают материал балки внизу (меньшие значения координат $z$), положительные сдвиговые силы вращают балку против часовой стрелки.

Предположим, что защемленный конец балки имеет координату $x=L$,а свободный конец — $x=0$. Если точечная нагрузка $P$ приложена к свободному концу в положительном направлении оси $z$, то условие равновесия системы сходящихся сил балки дает нам

$-Px-M_{xx}=0\implies M_{xx}=-Px$

и

$P+Q_{x}=0\implies Q_{x}=-P\,.$

Следовательно, из выражений для изгибного момента и сдвиговой силы получаем

$Px=EI\,{\frac {d\varphi }{dx}}\qquad {\text{и}}\qquad -P=\kappa AG\left(-\varphi +{\frac {dw}{dx}}\right)\,.$

Интегрируя первое уравнение и применяя граничное условие $\varphi =0$ при $x=L$ приходим к

$\varphi (x)=-{\frac {P}{2EI}}\,(L^{2}-x^{2})\,.$

Второе уравнение может быть переписано в виде

${\frac {dw}{dx}}=-{\frac {P}{\kappa AG}}-{\frac {P}{2EI}}\,(L^{2}-x^{2})\,.$

Интегрируя и применяя граничное условие $w=0$ при $x=L$ пишем

$w(x)={\frac {P(L-x)}{\kappa AG}}-{\frac {Px}{2EI}}\,\left(L^{2}-{\frac {x^{2}}{3}}\right)+{\frac {PL^{3}}{3EI}}\,.$

Осевое напряжение дается тогда выражением

$\sigma _{xx}(x,z)=E\,\varepsilon _{xx}=-E\,z\,{\frac {d\varphi }{dx}}=-{\frac {Pxz}{I}}={\frac {M_{xx}z}{I}}\,.$

Динамика балки Тимошенко

В теории изгиба балки Тимошенко без осевых эффектов отклонение балки предполагается заданным в виде

$u_{x}(x,y,z,t)=-z~\varphi (x,t)~;~~u_{y}(x,y,z,t)=0~;~~u_{z}(x,y,z,t)=w(x,t)$

где $(x,y,z)$ — координаты точки балки, $u_{x},u_{y},u_{z}$ — компоненты вектора отклонения в трех координатных направлениях, $\varphi$ — угол вращения нормали по отношению к срединной поверхности балки и $w$ — отклонение срединной поверхности в направлении оси $z$.

Учитывая вышесказанное предположение теория изгиба балки Тимошенко (с допущением колебаний) может быть описано парой линейных уравнений в частных производных:

$\rho A{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-q(x,t)={\frac {\partial }{\partial x}}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\right]$

$\rho I{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)$

где искомыми величинами являются $w(x,t)$ (отклонение балки) и $\varphi (x,t)$ (угловое отклонение). Заметим, что в отличие от теории изгиба балок Эйлера-Бернулли угловое отклонение является отдельной переменной, а не приближается наклоном отклонения. Кроме того,

• $\rho$ — плотность материала балки (не линейная плотность).
• $A$ — площадь сечения балки.
• $E$ — модуль упругости.
• $G$ — модуль сдвига.
• $I$ — второй момент площади сечения.
• $\kappa$ — называется коэффициентом сдвига Тимошенко, который зависит от формы балки. Для прямоугольного сечения балки $\kappa =5/6$.
• $q(x,t)$ — распределенная нагрузка (сила приложенная к единице длины).
• $m:=\rho A$
• $J:=\rho I$

Эти параметры не обязательно постоянные.

Дли линейной упругой изотропной однородной балки постоянного сечения эти два уравнения можно скомбинировть в следующее уравнение

$EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\cfrac {EIm}{kAG}}\right){\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}~\partial t^{2}}}+{\cfrac {mJ}{kAG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}=q(x,t)+{\cfrac {J}{kAG}}~{\cfrac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {EI}{kAG}}~{\cfrac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}$

Вывод комбинированного уравнения изгиба балки Тимошенко

Уравнения, которым подчиняется изгиб однородной балки постоянного сечения по Тимошенко, имеют вид ${\begin{aligned}(1)&&\quad m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}&=\kappa AG~\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+q(x,t)~;~~m:=\rho A\\(2)&&\quad J~{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}&=EI~{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+\kappa AG~\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)~;~~J:=\rho I\end{aligned}}$ Из уравнения (1) (предполагая достаточную гладкость) получаем ${\begin{aligned}(3)&&\quad {\frac {\partial \varphi }{\partial x}}&=-{\cfrac {m}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\cfrac {q}{\kappa AG}}\\(4)&&\quad {\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}&=m~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}-\kappa AG~\left({\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}-{\cfrac {\partial ^{3}\varphi }{\partial x\partial t^{2}}}\right)\end{aligned}}$ Из уравнения (3) (опять же при достаточной гладкости) можно написать $(5)\qquad {\cfrac {\partial ^{3}\varphi }{\partial x^{3}}}=-{\cfrac {m}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+{\cfrac {1}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}$ Дифференцируя уравнение (2) получаем $(6)\qquad {\cfrac {\partial ^{3}\varphi }{\partial x\partial t^{2}}}={\cfrac {EI}{J}}~{\cfrac {\partial ^{3}\varphi }{\partial x^{3}}}+{\cfrac {\kappa AG}{J}}~\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)$ Из уравнений (4) и (6) пишем $(7)\qquad {\cfrac {1}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {m}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}+{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}={\cfrac {EI}{J}}~{\cfrac {\partial ^{3}\varphi }{\partial x^{3}}}+{\cfrac {\kappa AG}{J}}~\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)$ Из уравнений (3) и (7) получаем $(8)\qquad {\cfrac {1}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {m}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}+{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}={\cfrac {EI}{J}}~{\cfrac {\partial ^{3}\varphi }{\partial x^{3}}}+{\cfrac {m}{J}}~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {q}{J}}$ Подставляя уравнение (5) в уравнение (8) получаем $(9)\qquad {\cfrac {J}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {mJ}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}+J~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}=-{\cfrac {mEI}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}+EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}+m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-q$ Преобразуя это уравнение получаем $EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\cfrac {mEI}{\kappa AG}}\right)~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}+{\cfrac {mJ}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}=q+{\cfrac {J}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}\quad \square$

Уравнение Тимошенко предсказывает наличие критической частоты $\omega _{C}=2\pi f_{c}={\sqrt {\frac {\kappa GA}{\rho I}}}.$ Для нормальных мод уравнение Тимошенко может быть решено. Поскольку это уравнение четвертого порядка, то у него существует четыре независимых решения, два осцилляторных и два быстро затухающих при частоте ниже $f_{c}$. Для частот выше $f_{c}$ все решения осцилляторны и, как следствие этого, возникает второй спектр.

Осевые эффекты

Если отклонение балки задается в виде

$u_{x}(x,y,z,t)=u_{0}(x,t)-z~\varphi (x,t)~;~~u_{y}(x,y,z,t)=0~;~~u_{z}(x,y,z,t)=w(x,t)$

где $u_{0}$ есть дополнительное отклонение в направлении оси $x$, тогда основное уравнение изгиба балки по Тимошенко обретает вид

${\begin{aligned}m{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}&={\frac {\partial }{\partial x}}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\right]+q(x,t)\\J{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}&=N(x,t)~{\frac {\partial w}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\end{aligned}}$

где $J=\rho I$ и $N(x,t)$ приложенная извне осевая сила. Любая внешняя осевая сила уравновешивается напряжением деформации

$N_{xx}(x,t)=\int _{-h}^{h}\sigma _{xx}~dz$

где $\sigma _{xx}$ — осевое напряжение. Толщина балки здесь считается равной $2h$.

Комбинированное уравнение изгиба балки с учетом осевой силы имеет вид

$EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+N~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\cfrac {mEI}{\kappa AG}}\right)~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}+{\cfrac {mJ}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}=q+{\cfrac {J}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}$

Затухание (демпфирование)

Если, помимо учета осевых сил, мы предположим также наличие демпфирующей силы, которая пропорциональна скорости в виде

$\eta (x)~{\cfrac {\partial w}{\partial t}}$

то связанные основные уравнения изгиба балки Тимошенко становятся равными

$m{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}+\eta (x)~{\cfrac {\partial w}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\right]+q(x,t),$

$J{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}=N{\frac {\partial w}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right),$ а комбинированное уравнение приобретает вид

${\begin{aligned}EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}&+N~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\cfrac {mEI}{\kappa AG}}\right)~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}+{\cfrac {mJ}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}+{\cfrac {J\eta (x)}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{3}w}{\partial t^{3}}}\\&-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left(\eta (x){\cfrac {\partial w}{\partial t}}\right)+\eta (x){\cfrac {\partial w}{\partial t}}=q+{\cfrac {J}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}\end{aligned}}$

Подобный анзац для демпфирующей силы (похожий на силу вязкости) несколько нереалистичен поскольку вязкость приводит к независящей от частоты амплитудно-зависимой скорости затухания колебаний балки, тогда как эмпирические измерения показывают, что затухание слабо зависит от частоты и сильно зависит от амплитуды отклонения балки.

Коэффициент сдвига

Определить коэффициента сдвига не так-то просто, к тому же неоднозначно (существует несколько способов его определения). В целом он должен удовлетворять условию:

$\int _{A}\tau dA=\kappa AG\varphi \,$ .

Коэффициент сдвига зависит от коэффициента Пуассона. Попытки получить точное выражение для него предпринимались многими учёными, включая Степана Прокофьевича Тимошенко, Raymond D. Mindlin, G. R. Cowper, N. G. Stephen, J. R. Hutchinson и другими (см. также вывод уравнений изгиба балки Тимошенко с помощью теории изгиба балки основанной на вариационном-асимптотическом методе в книге Khanh C. Le который приводит к различным сдвиговым коэффициентам в статическом и динамическом случаях). В инженерной практике выражений Тимошенко вполне достаточно в большинстве случаев. В 1975 году Kaneko опубликовал весьма хороший обзор по коэффициенту сдвига. Позднее новые экспериментальные данные показали, что коэффициент сдвига недооценивается.

Согласно работе Cowper 1966 года для цельного прямоугольного сечения балки

$\kappa ={\cfrac {10(1+\nu )}{12+11\nu }}$

и для цельной балки круглого сечения

$\kappa ={\cfrac {6(1+\nu )}{7+6\nu }}$.

См. также

• Балка (техника)
• Изгиб (механика)
• Пластина (строительная механика)
• Плита (строительная механика)
• Модель изгиба балок Эйлера-Бернулли