Изгиб (механика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Изгиб — в сопротивлении материалов вид деформации, при котором происходит искривление осей прямых брусьев или изменение кривизны осей кривых брусьев, изменение кривизны/искривление срединной поверхности пластины или оболочки. Изгиб связан с возникновением в поперечных сечениях бруса или оболочки изгибающих моментов. Прямой изгиб балки возникает в случае, когда изгибающий момент в данном поперечном сечении бруса действует в плоскости, проходящей через одну из главных центральных осей инерции этого сечения. В случае, когда плоскость действия изгибающего момента в данном поперечном сечении бруса не проходит ни через одну из главных осей инерции этого сечения, изгиб называется косым.

Если при прямом или косом изгибе в поперечном сечении бруса действует только изгибающий момент, то соответственно имеется чистый прямой или чистый косой изгиб. Если в поперечном сечении действует также и поперечная сила, то имеется поперечный прямой или поперечный косой изгиб.

Часто термин «прямой» в названии прямого чистого и прямого поперечного изгиба не употребляют и их называют соответственно чистым изгибом и поперечным изгибом.

Классическая теория изгиба балок (теория ЭйлераБернулли)[править | править вики-текст]

Данная теория является базовой для аналитических расчетов балок и рам.

Основные гипотезы[править | править вики-текст]

  • Гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли): сечения балки, плоские и нормальные к оси до деформации, остаются после деформации плоскими и нормальными к изогнутой оси балки. Таким образом, деформация сдвига слоев относительно друг друга не учитывается. Единственным напряжением, рассматриваемым в этой теории, является осевое напряжение \sigma_z;
  • Перемещения и деформации предполагаются малыми. Балка предполагается нерастяжимой;
  • Размеры сечения балки предполагаются малыми по сравнению с радиусом кривизны оси балки;
  • Материал рассматривается как линейно упругий согласно закону Гука.

Вывод уравнений, связывающих силовые факторы с напряжениями и деформациями[править | править вики-текст]

Геометрические соотношения[править | править вики-текст]

Из основных гипотез следует, что деформация \varepsilon_z распределена по высоте сечения по линейному закону. В соответствии с законом Гука,

\sigma_z=E\varepsilon_z

т. е. напряжения также распределены по линейному закону.

В сечении балки (в плоском случае) возникают изгибающий момент M_x, поперечная сила Q_y и продольная сила N. На сечение действует внешняя распределенная нагрузка q.

Элемент балки, вырезанный двумя смежными поперечными сечениями, в деформированном состоянии

Рассмотрим два смежных сечения, расположенных на расстоянии \,dz друг от друга. В деформированном состоянии они развернуты на угол \,d\theta друг относительно друга. Так как верхние слои растянуты, а нижние сжаты, то очевидно, что существует нейтральный слой, остающийся нерастянутым. На рисунке он выделен красным. Изменение кривизны нейтрального слоя записывается следующим образом:

\frac{1}{\rho}=\frac{d\theta}{dz}

Приращение длины отрезка АВ, находящегося на расстоянии y от нейтральной оси, выражается следующим образом:

\Delta l=(y+\rho)d\theta-\rho d\theta=y d\theta

Таким образом, деформация:

\varepsilon_z=\frac{\Delta l}{l}=\frac{y d\theta}{\rho d\theta}=\frac{y}{\rho}

Силовые соотношения[править | править вики-текст]

Напряжение (по закону Гука):

\sigma_z=E\varepsilon_z=E\frac{y}{\rho}

Свяжем напряжение с силовыми факторами, возникающими в сечении. Осевая сила выражается следующим образом:

N=\int \limits_A^{\color{White}.} {\sigma_z} \,dA=\int \limits_A^{\color{White}.} {E\frac{y}{\rho}} \,dA=\frac{E}{\rho} \int \limits_A^{\color{White}.} y \,dA

Интеграл в последнем выражении представляет собой статический момент сечения относительно оси x. Принято брать в качестве оси x центральную ось сечения, такую, что

S_x=\int \limits_A^{\color{White}.} y \,dA =0

Таким образом, N=0. Изгибающий момент выражается следующим образом:

M_x=\int \limits_A^{\color{White}.} {\sigma_z y} \,dA=\frac{E}{\rho} \int \limits_A^{\color{White}.} {y^2} \,dA=\frac{E}{\rho} J_x

где J_x=\int \limits_A^{\color{White}.} {y^2} \,dA - момент инерции сечения относительно оси x.

Напряжения в сечении могут также приводиться к моменту M_y. Чтобы этого не произошло, необходимо выполнение условия:

M_y=\frac{E}{\rho} \int \limits_A^{\color{White}.} {yx} \,dA=\frac{E}{\rho} J_{xy}=0

т. е. центробежный момент инерции должен быть равен нулю, и ось y должна быть одной из главных осей сечения.

Таким образом, кривизна изогнутой оси балки связана с изгибающим моментом выражением:

\frac{1}{\rho}=\frac{M_x}{EJ_x}

Распределение напряжений по высоте сечения выражается формулой:

\sigma=\frac{M_x}{J_x} y

Максимальное напряжение в сечении выражается формулой:

\sigma_{max}=\frac{M_x}{J_x} \frac{h}{2}=\frac{M_x}{W_x}

где W_x=\frac{J_x}{\frac{h}{2}} — момент сопротивления сечения изгибу, h — высота сечения балки.

Величины J_x и W_x для простых сечений (круглое, прямоугольное) вычисляются аналитически. Для круглого сечения диаметром d:

J_x=\frac{\pi d^4}{64}

W_x=\frac{\pi d^3}{32}

Для прямоугольного сечения высотой h и шириной b

J_x=\frac{bh^3}{12}

W_x=\frac{bh^2}{6}

Для более сложных сечений (например, швеллер, двутавр), имеющих стандартизованные размеры, эти величины приведены в справочной литературе.

Изгибающий момент в сечении может быть получен методом сечений (если балка статически определима) или методами сил/перемещений.

Дифференциальные уравнения равновесия. Определение перемещений[править | править вики-текст]

Основными перемещениями, возникающими при изгибе, являются прогибы v в направлении оси y. Необходимо связать их с изгибающим моментом в сечении. Запишем точное соотношение, связывающее прогибы и кривизну изогнутой оси:

\frac{1}{\rho}=\frac{v''}{(1+v'^2)^{\frac{3}{2}}}

Так как прогибы и углы поворота предполагаются малыми, то величина

v'^2=\left (\mathrm{tg}\,(\theta) \right )^2\approx\theta^2

является малой. Следовательно,

\frac{1}{\rho} \approx v''

Значит,

v''=\frac{M_x}{EJ_x}

Запишем уравнение равновесия сечения в направлении оси y:

Q_y+qdz-Q_y-dQ_y=0\Rrightarrow\frac{dQ}{dz}=q

Запишем уравнение равновесия моментов относительно оси x:

M_x+Q\,dz+q\,dz\frac{\,dz}{2}-M_x-\,dM_x=0

Величина q\,dz\frac{\,dz}{2} имеет 2-й порядок малости и может быть отброшена. Следовательно,

\frac{\,dM_x}{\,dz}=Q_y

Таким образом, имеется 3 дифференциальных уравнения. К ним добавляется уравнение для перемещений:

\frac{\,dv}{\,dz}=\mathrm{tg}\,\theta\approx\theta

В векторно-матричной форме система записывается следующим образом:

\frac{\,d\overrightarrow{Z}}{\,dz}+A\overrightarrow{Z}=\overrightarrow{b}

где

A=\begin{Bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{EJ_x(z)} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0  \end{Bmatrix}

Вектор состояния системы:

\overrightarrow{Z}=(Q,M,\theta,v)^T

Вектор внешней нагрузки:

\overrightarrow{b}=(q,0,0,0)^T

Это дифференциальное уравнение может быть использовано для расчета многоопорных балок с переменным по длине моментом инерции сечения и сложным образом распределенными нагрузками. Для расчета простых балок применяются упрощенные методы. В сопротивлении материалов при расчете статически определимых балок изгибающий момент находится методом сечений. Уравнение

v''=\frac{M_x}{EJ_x}

интегрируется дважды:

v'=\theta(z)=\int \frac{M_x(z)}{EJ_x} \,dz +C_1
v(z)= \int \left (\int \frac{M_x(z)}{EJ_x} \,dz \right ) \,dz +C_1z+C_2

Константы C_1, C_2 находятся из граничных условий, наложенных на балку. Так, для консольной балки, изображенной на рисунке:

Консольная балка, нагруженная силой на конце
M_x(z)=-P(L-z)
\theta(z)=-PL\frac{z}{EJ_x}+P\frac{z^2}{2EJ_x} +C_1
v(z)=-PL\frac{z^2}{2EJ_x}+P\frac{z^3}{6EJ_x}+C_1z+C_2

Граничные условия:

\theta(0)=0\Rrightarrow C_1=0
v(0)=0\Rrightarrow C_2=0

Таким образом,

\theta(z)=-PL\frac{z}{EJ_x}+P\frac{z^2}{2EJ_x}
v(z)=-PL\frac{z^2}{2EJ_x}+P\frac{z^3}{6EJ_x}

Теория изгиба балок Тимошенко[править | править вики-текст]

Данная теория базируется на тех же гипотезах, что и классическая, однако гипотеза Бернулли модифицируется: предполагается, что сечения, бывшие до деформации плоскими и нормальными к оси балки, остаются плоскими, но перестают быть нормальными к изогнутой оси. Таким образом, данная теория учитывает деформацию сдвига и касательные напряжения. Учет касательных напряжений очень важен для расчета композитов и деталей из дерева, так как их разрушение может происходить за счет разрушения связующего при сдвиге.

Основные зависимости:

M=EJ\frac{\,d\theta}{\,dz}
Q=\frac{GF}{\alpha}\left (\theta-\frac{\,dv}{\,dz}\right)

где G — модуль сдвига материала балки, F — площадь сечения, \alpha — коэффициент, учитывающий неравномерность распределения касательных напряжений по сечению и зависящий от его формы. Величина

\gamma=\theta-\frac{\,dv}{\,dz}

представляет собой угол сдвига.

Изгиб балок на упругом основании[править | править вики-текст]

Данной расчетной схемой моделируются железнодорожные рельсы, а также корабли (в первом приближении).

Упругое основание рассматривается как множество не связанных друг с другом пружинок.

Простейший метод расчета основан на гипотезе Винклера: реакция упругого основания пропорциональна прогибу в точке и направлена навстречу ему:

p=-k\cdot v

где v - прогиб;

p - реакция (на единицу длины балки);

k - коэффициент пропорциональности (называемый коэффициентом постели).

При этом основание считается двусторонним, то есть реакция возникает как при вдавливании балки в основание, так и при её отрыве от основания. Гипотеза Бернулли сохраняется.

Дифференциальное уравнение изгиба балки на упругом основании имеет вид:

\frac{d^2}{dz^2}(EJ_x(z)\frac{d^2v}{dz^2})+k(z)\cdot v=q(z)

где v(z) - прогиб;

EJ_x(z) - изгибная жесткость (могущая быть переменной по длине);

k(z) - переменный по длине коэффициент постели;

q(z) - распределенная нагрузка на балку.

При постоянной жесткости и коэффициенте постели уравнение может быть записано в виде:

EJ_x\frac{d^4v}{dz^4}+k\cdot v=q(z)

или

\frac{d^4v}{dz^4}+4m^4\cdot v=q(z)

где обозначено

4m^4=\frac{k}{EJ_x}

Изгиб бруса большой кривизны[править | править вики-текст]

Для балок, радиус кривизны оси которых \rho_0 соизмерим с высотой сечения h, т. е.:

\frac{h}{\rho_0}>0,2

распределение напряжений по высоте отклоняется от линейного, а нейтральная линия не совпадает с осью сечения (которая проходит через центр тяжести сечения). Такая расчетная схема используется, например, для расчета звеньев цепей и крюков подъёмных кранов.

Формула для распределения напряжений имеет вид:

\sigma=\frac{M}{F\cdot e}\cdot\frac{y}{r_0+y}

где M - изгибающий момент в сечении;

r_0 - радиус нейтральной линии сечения;

F - площадь сечения;

e=\rho_0-r_0 - эксцентриситет;

y - координата по высоте сечения, отсчитываемая от нейтральной линии.

Радиус нейтральной линии определяется по формуле:

r_0=\int\frac{dF}{u}

Интеграл берется по площади сечения, координата u отсчитывается от центра кривизны. Справедливы также приближенные формулы:

e=\frac{J_x}{\rho_0\cdot F}

r_0=\rho_0-\frac{J_x}{\rho_0\cdot F}

Для часто используемых сечений имеются аналитические формулы. Для прямоугольного сечения:

r_0=\frac{h}{\ln\frac{\rho_0+\frac{h}{2}}{\rho_0-\frac{h}{2}}}=\frac{h}{\ln\frac{R_2}{R_1}}

где R_1, R_2 - радиусы кривизны внутренней и наружной поверхности балки соответственно.

Для круглого сечения:

r_0=\frac{\rho_0+\sqrt{\rho^2_0-R^2}}{2}

где R - радиус сечения.

Проверка прочности балки[править | править вики-текст]

В большинстве случаев прочность балки определяется по максимальным допускаемым напряжениям:

\sigma_{max}<\frac{\sigma_T}{n_T}

где \sigma_Tпредел текучести материала балки, n_Tкоэффициент запаса?! по текучести. В случае хрупких материалов:

\sigma_{max}<\frac{\sigma_b}{n_b}

где \sigma_bпредел прочности материала балки, n_bкоэффициент запаса?! по прочности.

В случае пластичных материалов эти формулы могут существенно занижать значение нагрузки, при котором балка теряет свою несущую способность. Фактически несущая способность теряется лишь в случае, если в каком-либо сечении весь материал переходит в пластическое состояние. Тогда в сечении могут возникать недопустимые перемещения (образуется так называемый пластический шарнир). Если принимать в качестве диаграммы растяжения-сжатия диаграмму Прандтля, то предельный изгибающий момент M_{pr} для стержня прямоугольного сечения шириной b и высотой h выражается формулой:

M_{pr}=\frac{1}{4} bh^2\sigma_T

Динамическое нагружение балок[править | править вики-текст]

Изгиб оболочек[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Феодосьев В. И. Сопротивление материалов. — М.: изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 1999

Ссылки[править | править вики-текст]