Универсальность Фейгенбаума

Универсальность Фейгенбаума, или универсальность Фейгенбаума — Кулле — Трессера, — эффект в теории бифуркаций, заключающийся в том, что определённые числовые характеристики каскада бифуркаций удвоения периодов в однопараметрическом семействе унимодальных отображений при переходе от регулярного поведения к хаотическому оказываются не зависящими от выбора конкретного семейства (и, тем самым, являются универсальными константами). Такими характеристиками оказываются, в частности, предел отношений соседних отрезков параметров между двумя бифуркациями удвоения периода (названный постоянной Фейгенбаума $\delta$) и хаусдорфова размерность аттрактора в конечной точке каскада.

Эффект был открыт в численных экспериментах М. Фейгенбаумом и одновременно и независимо П. Кулле и Ч. Трессером; как Фейгенбаум, так и Кулле и Трессер предложили объяснение этого эффекта через описание поведения оператора ренормализации. Обоснование такого поведения в случае унимодальных отображений было сначала получено в (строгой, но опирающемся на проведённые с помощью компьютера выкладки) работе О. Лэнфорда, а затем в использующих комплексную технику работах Д. Салливана, К. МакМюллена и М. Любича.

Описание эффекта

Универсальность Фейгенбаума — Кулле — Трессера — эффект, который был открыт при изучении перехода от регулярного поведения к хаотичному в однопараметрических семействах унимодальных отображений, в частности, при исследовании семейства логистических отображений

$f_{\lambda }:[0,1]\to [0,1],\quad x\mapsto \lambda x(1-x)$

и семейства

$g_{\mu }:[0,1]\to [0,1],x\mapsto \mu \sin \pi x.$

А именно, в логистическом семействе отображений, при малых $\lambda$ аттрактором отображения оказывается единственная притягивающая неподвижная точка. При $\lambda _{1}=3$ происходит первая бифуркация удвоения периода, в результате которой неподвижная точка теряет устойчивость, и вместо неё аттрактором становится возникающая в этот момент притягивающая периодическая орбита периода 2. Эта орбита остаётся устойчивой при дальнейшем увеличении параметра вплоть до $\lambda _{2}\approx 3{,}449$, после чего происходит следующая бифуркация удвоения периода, и аттрактором становится рождающаяся при $\lambda =\lambda _{2}$ периодическая орбита периода 4. В свою очередь, эта орбита при $\lambda =\lambda _{3}\approx 3{,}544$ теряет устойчивость, и аттрактором становится рождающаяся орбита периода 8, и так далее.

Эти значения накапливаются к некоторому значению $\lambda _{*}=\lim _{n}\lambda _{n}$ — концевой точке каскада бифуркаций. Выполняя численные эксперименты, Фейгенбаум обнаружил, что их накопление асимптотически выглядит как геометрическая прогрессия:

$\lambda _{*}-\lambda _{n}\sim C\delta ^{-n}.$

Подобный сценарий перехода от регулярного поведения к хаотичному через каскад бифуркаций удвоения периода имеет место для любого семейства унимодальных отображений с отрицательной производной Шварца; поставив эксперименты для другого однопараметрического семейства унимодальных отображений, $g_{\mu }:x\mapsto \mu \sin \pi x,$ Фейгенбаум обнаружил, что в этом случае моменты бифуркации $\mu _{n}$ накапливаются к предельному $\mu _{*}$ асимптотически как геометрическая прогрессия,

$\mu _{*}-\mu _{n}\sim C'\delta ^{-n},$

причём с тем же, что и для логистического семейства, знаменателем $\delta ^{-1}$. В связи с этим, он высказал гипотезу, что подобное поведение моментов бифуркации универсально — не зависит от выбора конкретного однопараметрического семейства; константа $\delta \approx 4{,}669...$ получила название постоянной Фейгенбаума.

Объяснение: ренормализация

Обоснование эффекта универсальности опирается на описание динамики преобразования ренормализации ${\mathcal {R}}$ на пространстве унимодальных отображений интервала $[-1,\;1]$ в себя. А именно, при определенных условиях на унимодальное отображение f можно выделить интервал, который за две итерации отображается в себя, и отображение первого возвращения на который также будет унимодальным. Линейная смена масштаба после этого позволяет рассмотреть отображение первого возвращения опять как отображение исходного интервала $[-1,\;1]$ в себя; такое преобразование, сопоставляющее исходному отображению проитерированное со сменой масштаба, и называется ренормализацией.

Предложенное Фейгенбаумом и Кулле — Трессером объяснение эффекта универсальности основывалось на том, что у преобразования ренормализации есть единственная неподвижная точка $g$, тем самым, удовлетворяющая уравнению Фейгенбаума — Цитановича

$g(x)=-{\frac {1}{\alpha }}g(g(\alpha x)),$

где $\alpha$ — константа перемасштабирования.

Эта неподвижная точка гиперболична, причём её неустойчивое многообразие одномерно, и пересекает поверхность в пространстве отображений, отвечающую бифуркации удвоения периода. Напротив того, устойчивое многообразие этой точки имеет коразмерность один (в бесконечномерном пространстве унимодальных отображений), и типичное однопараметрическое семейство отображений — в частности, квадратичное семейство — его трансверсально пересекает.

Тогда, асимптотическая скорость, с которой моменты бифуркаций удвоения периода $\lambda _{n}$ приближаются $\lambda _{*}$ к предельному — экспоненциальная, со знаменателем, обратным большему 1 собственному значению линеаризации ${\mathcal {R}}$ в точке $g$. В частности, отсюда следует явление универсальности: эта скорость определяется большим 1 собственным значением, и не зависит от выбора индивидуального семейства.

История

В 1976 г. вышла работа Р. М. Мэя, исходной точкой которой служили вопросы популяционной динамики; в качестве математической модели рассматривались динамические системы на отрезке, соответствующие нескольким различным унимодальным отображениям, в том числе логистическому. Она мотивировала интерес к исследованию таких отображений и бифуркаций в их однопараметрических семействах, и в 1978 году М. Фейгенбаум и одновременно и независимо П. Кулле и Ч. Трессер обнаруживают в численных экспериментах эффект универсальности, и предлагают его объяснение через описание динамики оператора ренормализации.

Вскоре, в 1984 году, О. Лэнфорд строго доказывает данное свойство, однако его доказательство в существенной степени опирается на проведённые компьютерные вычисления.

Ссылки

• Universal behaviour in dynamical systems, Springer Encyclopaedia of Mathematics.
• Аннотация курса М. Ямпольского
• Weisstein, Eric W. Feigenbaum Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Видеозапись доклада А. Авила на Международном конгрессе математиков, Хайдарабад, 2010.

Литература

• R. M. May, Simple mathematical models with very complicated dynamics, Nature 261 (1976), 459—467.
• P. Coullet, C. Tresser, Itérations d’endomorphismes et groupe de rénormalisation, Journal de Physique Colloques 39:C5 (1978), pp. 25–28.
• C. Tresser and P. Coullet, Iterations d’endomorphismes et groupe de renormalisation, C. R. Acad. Sci. Paris 287A (1978), pp. 577–580.
• M. J. Feigenbaum, Quantitative universality for a class of nonlinear transformations, J. Statist. Phys. 19 (1978), 25-52.
• M. J. Ferigenbaum, The universal metric properties of nonlinear transformations, J. Statist. Phys. 21 (1979), 669—706.
• O. E. Lanford III, A computer-assisted proof of the Feigenbaum conjectures, Bull. AMS. 6:3 (1984), pp. 427–434
• J.-P. Eckmann The Mechanism of Feigenbaum Universality, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Berkeley, California, USA, 1986.
• M. Lyubich, Feigenbaum-Coullet-Tresser Universality and Milnor’s Hairiness Conjecture, Annals of Mathematics, 149 (1999), pp. 319–420.
• J. Milnor, Self-similarity and hairiness in the Mandelbrot set, in Computers in Geometry and Topology, Lect. Notes in Pure and Appl Math. 114 (1989), 211—257
• Е. Б. Вул, Я. Г. Синай, К. М. Ханин, Универсальность Фейгенбаума и термодинамический формализм, УМН, 39:3 (237) (1984), 3-37.
• В. И. Арнольд, Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, изд. 2-е.