Формула Зельмейера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Формула Зельмейера (уравнение Селлмейера) — это эмпирическая формула, описывающая зависимость между показателем преломления и длиной волны для конкретной прозрачной среды. Уравнение используется для определения дисперсии света в этой среде.

Впервые оно было предложено в 1872 году Вильгельмом Селлмейером и являлось развитием работы Огюстена Коши по уравнению Коши для моделирования дисперсии[1].

В своём первоначальном и наиболее общем виде уравнение Селлмейера имеет вид

где n — показатель преломления, λ — длина волны, а Bi и Ci — экспериментально определяемые коэффициенты Селлмейера. Эти коэффициенты обычно указываются для λ в микрометрах в квадрате. Обратите внимание, что λ — это длина волны света в вакууме, а не длина волны в самом материале, которая равна λ/n. Для некоторых типов материалов, например кристаллов, иногда используется другая форма уравнения.

Каждый член суммы представляет собой резонанс поглощения с силой Bi на длине волны (Ci)1/2. Например, коэффициенты для стекла BK7 ниже соответствуют двум резонансам поглощения в ультрафиолетовой области и одному в средней инфракрасной области. Вблизи каждого пика поглощения уравнение даёт нефизические значения n2 = ±∞, и в этих диапазонах длин волн необходимо использовать более точную модель дисперсии, такую как модель Гельмгольца[источник не указан 918 дней].

Если все коэффициенты известны для материала, на длинных волнах вдали от пиков поглощения значение n стремится к

где ε r — относительная диэлектрическая проницаемость среды.

Для описания стёкол обычно используется уравнение, состоящее из трёх членов[2][3]:

В качестве примера ниже показаны коэффициенты для обычного боросиликатного стекла для крона, известного как BK7:

Коэффициент Значение
В1 1,03961212
В2 0,231792344
В3 1,01046945
C1 6,00069867 × 10−3 мкм2
C2 2,00179144 × 10−2 мкм2
C3 1,03560653 × 102 мкм2

Коэффициенты Селлмейера для многих распространённых оптических материалов можно найти в онлайн-базе данных RefractiveIndex.info.

Для обычных оптических очков показатель преломления, рассчитанный с помощью трёхчленного уравнения Селлмейера, отклоняется от фактического показателя преломления менее чем на 5 × 10−6 в диапазоне длин волн от 365 нм до 2,3 мкм[4], что по порядку величины соответствует однородности стекла[5]. Иногда добавляются дополнительные условия, чтобы сделать расчёт ещё более точным.

Иногда уравнение Селлмейера используется в двучленной форме[6]:

Здесь коэффициент A является приближением вкладов коротковолнового (например, ультрафиолетового) поглощения в показатель преломления на более длинных волнах. Существуют и другие варианты уравнения Селлмейера, которые могут учитывать изменение показателя преломления материала из-за температуры, давления и других параметров.

Коэффициенты

[править | править код]
Таблица коэффициентов уравнения Селлмейера[7]
Материал В1 В2 В3 C1, мкм2 C2, мкм2 C3, мкм2
стекло крон (BK7) 1,03961212 0,231792344 1,01046945 6,00069867 × 10−3 2,00179144 × 10−2 103,560653
сапфир (для обыкновенной волны) 1,43134930 0,65054713 5,3414021 5,2799261 × 10−3 1,42382647 × 10−2 325,017834
сапфир (для необыкновенной волны) 1,5039759 0,55069141 6,5927379 5,48041129 × 10−3 1,47994281 × 10−2 402,89514
плавленый кварц 0,696166300 0,407942600 0,897479400 4,67914826 × 10−3 1,35120631 × 10−2 97,9340025
фторид магния 0,48755108 0,39875031 2,3120353 0,001882178 0,008951888 566,13559

Примечания

[править | править код]
  1. Sellmeier, W. (1872). "Ueber die durch die Aetherschwingungen erregten Mitschwingungen der Körpertheilchen und deren Rückwirkung auf die ersteren, besonders zur Erklärung der Dispersion und ihrer Anomalien (II. Theil)". Annalen der Physik und Chemie. 223 (11): 386—403. doi:10.1002/andp.18722231105. Архивировано 7 ноября 2020. Дата обращения: 20 мая 2021.
  2. Refractive index and dispersion Архивная копия от 20 января 2022 на Wayback Machine. Schott technical information document TIE-29 (2007).
  3. Paschotta. Sellmeier formula (англ.). RP Photonics Encyclopedia. Дата обращения: 14 сентября 2018. Архивировано 19 марта 2015 года.
  4. Optical Properties. Дата обращения: 20 мая 2021. Архивировано 20 мая 2021 года.
  5. Guarantee of Quality. Дата обращения: 20 мая 2021. Архивировано 20 мая 2021 года.
  6. Ghosh, Gorachand (1997). "Sellmeier Coefficients and Dispersion of Thermo-Optic coefficients for some optical glasses". Applied Optics. 36 (7): 1540—1546. Bibcode:1997ApOpt..36.1540G. doi:10.1364/AO.36.001540. PMID 18250832.
  7. Archived copy. Дата обращения: 16 января 2015. Архивировано 11 октября 2015 года.