Формула Зельмейера

Формула Зельмейера (уравнение Селлмейера) — это эмпирическая формула, описывающая зависимость между показателем преломления и длиной волны для конкретной прозрачной среды. Уравнение используется для определения дисперсии света в этой среде.

Впервые оно было предложено в 1872 году Вильгельмом Селлмейером и являлось развитием работы Огюстена Коши по уравнению Коши для моделирования дисперсии.

Уравнение

В своём первоначальном и наиболее общем виде уравнение Селлмейера имеет вид

$n^{2}(\lambda )=1+\sum _{i}{\frac {B_{i}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{i}}},$

где n — показатель преломления, λ — длина волны, а B_i и C_i — экспериментально определяемые коэффициенты Селлмейера. Эти коэффициенты обычно указываются для λ в микрометрах в квадрате. Обратите внимание, что λ — это длина волны света в вакууме, а не длина волны в самом материале, которая равна λ/n. Для некоторых типов материалов, например кристаллов, иногда используется другая форма уравнения.

Каждый член суммы представляет собой резонанс поглощения с силой B_i на длине волны (C_i)^1/2. Например, коэффициенты для стекла BK7 ниже соответствуют двум резонансам поглощения в ультрафиолетовой области и одному в средней инфракрасной области. Вблизи каждого пика поглощения уравнение даёт нефизические значения n² = ±∞, и в этих диапазонах длин волн необходимо использовать более точную модель дисперсии, такую как модель Гельмгольца.

Если все коэффициенты известны для материала, на длинных волнах вдали от пиков поглощения значение n стремится к

$n\approx {\sqrt {1+\sum \nolimits _{i}B_{i}}}\approx {\sqrt {\varepsilon _{r}}},$

где ε _r — относительная диэлектрическая проницаемость среды.

Для описания стёкол обычно используется уравнение, состоящее из трёх членов:

$n^{2}(\lambda )=1+{\frac {B_{1}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{1}}}+{\frac {B_{2}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{2}}}+{\frac {B_{3}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{3}}}.$

В качестве примера ниже показаны коэффициенты для обычного боросиликатного стекла для крона, известного как BK7:

Коэффициент	Значение
В1	1,03961212
В2	0,231792344
В3	1,01046945
C1	6,00069867 × 10−3 мкм2
C2	2,00179144 × 10−2 мкм2
C3	1,03560653 × 102 мкм2

Коэффициенты Селлмейера для многих распространённых оптических материалов можно найти в онлайн-базе данных RefractiveIndex.info.

Для обычных оптических очков показатель преломления, рассчитанный с помощью трёхчленного уравнения Селлмейера, отклоняется от фактического показателя преломления менее чем на 5 × 10⁻⁶ в диапазоне длин волн от 365 нм до 2,3 мкм, что по порядку величины соответствует однородности стекла. Иногда добавляются дополнительные условия, чтобы сделать расчёт ещё более точным.

Иногда уравнение Селлмейера используется в двучленной форме:

$n^{2}(\lambda )=A+{\frac {B_{1}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{1}}}+{\frac {B_{2}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{2}}}.$

Здесь коэффициент A является приближением вкладов коротковолнового (например, ультрафиолетового) поглощения в показатель преломления на более длинных волнах. Существуют и другие варианты уравнения Селлмейера, которые могут учитывать изменение показателя преломления материала из-за температуры, давления и других параметров.

Коэффициенты

Таблица коэффициентов уравнения Селлмейера

Материал	В1	В2	В3	C1, мкм2	C2, мкм2	C3, мкм2
стекло крон (BK7)	1,03961212	0,231792344	1,01046945	6,00069867 × 10−3	2,00179144 × 10−2	103,560653
сапфир (для обыкновенной волны)	1,43134930	0,65054713	5,3414021	5,2799261 × 10−3	1,42382647 × 10−2	325,017834
сапфир (для необыкновенной волны)	1,5039759	0,55069141	6,5927379	5,48041129 × 10−3	1,47994281 × 10−2	402,89514
плавленый кварц	0,696166300	0,407942600	0,897479400	4,67914826 × 10−3	1,35120631 × 10−2	97,9340025
фторид магния	0,48755108	0,39875031	2,3120353	0,001882178	0,008951888	566,13559

Ссылки

• Показатель преломления. ИНФОРМАЦИЯ База данных показателя преломления с коэффициентами Зельмейера для многих сотен материалов.
• Калькулятор на основе браузера, рассчитывающий показатель преломления на основе коэффициентов Селлмейера.
• Annalen der Physik — свободный доступ, оцифровано Французской национальной библиотекой
• Коэффициенты Селлмейера для 356 стаканов Охары, Хойи и Шотта