Функция расходов

Функция расходов — в микроэкономике (теория потребления) — функция зависимости минимальных расходов потребителя от цен на блага и требуемой (минимальной) величины полезности или объёма благ с заданной полезностью. Представляет собой денежную оценку хиксианского спроса.

Формальное определение

Двойственная задача потребителя заключается в выборе такого набора благ $h$, чтобы его полезность была не меньше заданной полезности (полезности заданного набора $x$), а совокупные расходы $ph$ были минимальными ($p$ — вектор цен на блага). То есть

$ph\rightarrow min,\{h\in {\textbf {R}}_{+}^{n}:u(h)\geq u^{*}(x)\}$

Решение этой задачи — $h(p,u^{*})$ — спрос Хикса.

Функцией расходов $e(p,u^{*})$ называют зависимость затрат на приобретение набора $h(p,u^{*})$ от $p$ и $u^{*}$), то есть:

$e(p,u^{*})=ph(p,u^{*})$

Поскольку решение двойственной задачи потребителя достигается на границе допустимого множества, то есть $u(h)=u^{*}(x)$, то иногда в качестве аргументов функции расходов используется не значение полезности $u^{*}$, а потребительский набор $x$, полезность которой равна $u^{*}$, то есть:

$e(p,x)=ph(p,u(x))$

Свойства

При некоторых слабых предположениях (неоклассические непрерывные предпочтения потребителя) функция расходов является непрерывной функцией и по вектору $p$ — вогнутой (выпуклой вверх), однородной первой степени и не убывающей функцией. Кроме того можно показать, что если набор $x$ «не хуже» набора $y$ в смысле нестрогого отношения предпочтения, то $e(p,x)\geqslant e(p,y)$.

Спрос Хикса равен частной производной функции расходов по ценам (Лемма Шепарда).

См. также

Лемма Шепарда