Изофота

Освещённый эллипсоид с изофотами (изображены красным цветом)

Изофота (англ. Isophote) — кривая на освещённой поверхности, соединяющая точки с одинаковой яркостью. Предположим, что освещённость создаётся пучком параллельных лучей света, а яркость $b$ выражается скалярным произведением

$b(P)={\vec {n}}(P)\cdot {\vec {v}}=\cos \varphi \ .$

${\vec {n}}(P)$ представляет собой единичный вектор, нормальный к поверхности в точке $P$, а вектор ${\vec {v}}$ является единичным вектором в направлении распространения света. В случае $b(P)=0$, когда свет перпендикулярен к нормали к поверхности, точка $P$ является точкой на силуэте поверхности в направлении ${\vec {v}}$. Яркость 1 означает, что луч света перпендикулярен поверхности. На плоскости в рамках предположения о параллельности пучка лучей изофоты будут отсутствовать.

В астрономии изофотой называют кривую на изображении объекта, соединяющую точки с одинаковой яркостью.

Применение и пример

В системах автоматизированного проектирования изофоты используются для оптического контроля гладкости стыковки поверхностей. Для поверхности (заданной неявно или параметрически), дифференцируемой достаточное количество раз, вектор нормали зависит от первых производных. Следовательно, дифференцируемость изофот и их геометрическая непрерывность имеют на 1 меньший порядок, чем сама поверхность. Если в точке поверхности непрерывными являются только касательные плоскости (гладкость порядка 1), то изофоты обладают изломами (гладкость только нулевого порядка).

В следующем примере две пересекающиеся поверхности Безье закрыты участком третьей поверхности. На рисунке слева закрывающая поверхность касается поверхностей Безье с порядком гладкости 1, на рисунке справа — с порядком гладкости 2. Из самих рисунков разница ситуаций видна плохо, но исследование геометрической непрерывности изофот показывает: на рисунке слева изофоты имеют изломы (гладкость порядка 0), а на рисунке справа изофоты выглядят гладкими (гладкость порядка 1).

• 
  Изофоты на двух поверхностях Безье: слева видны изломы, справа изофоты гладкие.

Определение точек изофоты

на неявно заданной поверхности

Для неявно заданной поверхности с уравнением $f(x,y,z)=0$ изофоты удовлетворяют равенству

${\frac {\nabla f\cdot {\vec {v}}}{|\nabla f|}}=c\ .$

Это означает: точки на изофоте с заданным параметром $c$ представляют собой решение нелинейной системы

• $\ f(x,y,z)=0,\qquad \nabla f(x,y,z)\cdot {\vec {v}}-c\;|\nabla f(x,y,z)|=0\ ,$

которую можно рассматривать как линию пересечения двух неявно заданных поверхностей. Используя алгоритм, представленный Bajaj и др. (см. ссылки), можно вычислить многоугольник из точек изофот.

на параметрически заданной поверхности

В случае параметрически заданной поверхности ${\vec {x}}={\vec {S}}(s,t)$ уравнение для изофот имеет вид

${\frac {({\vec {S}}_{s}\times {\vec {S}}_{t})\cdot {\vec {v}}}{|{\vec {S}}_{s}\times {\vec {S}}_{t}|}}=c\ ,$

что эквивалентно выражению

• $\ ({\vec {S}}_{s}\times {\vec {S}}_{t})\cdot {\vec {v}}-c\;|{\vec {S}}_{s}\times {\vec {S}}_{t}|=0\ .$

Данное уравнение описывает неявно заданную кривую в плоскости s-t, которую можно представить с помощью подходящего алгоритма и преобразовать с помощью ${\vec {S}}(s,t)$ в точки на поверхности.

Литература

• J. Hoschek, D. Lasser: Grundlagen der geometrischen Datenverarbeitung, Teubner-Verlag, Stuttgart, 1989, ISBN 3-519-02962-6, p. 31.
• Z. Sun, S. Shan, H. Sang et. al.: Biometric Recognition, Springer, 2014, ISBN 978-3-319-12483-4, p. 158.
• C.L. Bajaj, C.M. Hoffmann, R.E. Lynch, J.E.H. Hopcroft: Tracing Surface Intersections, (1988) Comp. Aided Geom. Design 5, pp. 285–307.
• C. T. Leondes: Computer Aided and Integrated Manufacturing Systems: Optimization methods, Vol. 3, World Scientific, 2003, ISBN 981-238-981-4, p. 209.

Ссылки

• Patrikalakis-Maekawa-Cho: Isophotes (engl.)
• A. Diatta, P. Giblin: Geometry of Isophote Curves
• Jin Kim: Computing Isophotes of Surface of Revolution and Canal Surface