Скалярное произведение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Скаля́рное произведе́ние — операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр (число), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Эта операция обычно рассматривается как коммутативная и линейная по каждому сомножителю.

Обычно используется одно из следующих обозначений:

$\langle \mathbf a, \mathbf b \rangle$ ,

$(\mathbf a, \mathbf b)$ ,

$\mathbf a \cdot \mathbf b$ ,

или (обозначение Дирака, часто применяемое в квантовой механике для векторов состояния):

$\langle a|b\rangle$ .

Обычно предполагается что скалярное произведение положительно определено, то есть

$\langle \mathbf a, \mathbf a \rangle > 0$ для всех $a\not=0$ .

[править] Элементарное определение

Элементарное определение скалярного произведения используется, когда определения длины вектора и угла между векторами введены независимым образом до введения понятия скалярного произведения (как правило, так и поступают при изложении элементарной геометрии). В этом случае скалярное произведение определяется через длины сомножителей и угол между ними:

$\mathbf a \cdot \mathbf b = |\mathbf a| \cdot |\mathbf b| \cdot \cos \angle{(\mathbf a,\mathbf b)}$

Современная аксиоматика обычно строится начиная со скалярного произведения, и тогда длина вектора и угол определяются уже через скалярное произведение (см. ниже).

Еще одно элементарное конструктивное определение: скалярное произведение двух векторов есть произведение длины одного вектора на проекцию второго на направление первого.

Скалярное произведение (англ. "scalar product" или "dot product") является частным случаем внутреннего произведения (англ. "inner product"). Скалярное произведение может быть введено только в действительном векторном пространстве. А так называемое внутренное произведение вводится в комплексном векторном пространстве. В советских книгах понятие внутреннего произведения не вводилось^{[источник не указан 57 дней]}, поэтому и то и другое называлось скалярным произведением.

[править] Связанные определения

В современном аксиоматическом подходе уже на основе понятия скалярного произведения векторов вводятся следующие производные понятия:

Длина вектора, под которой понимается уже упомянутая выше его евклидова норма: $\|x\| = \sqrt{\langle x,x\rangle}$ (термин 'длина' обычно применяется к конечномерным векторам, однако в случае вычисления длины криволинейного пути часто используется и в случае бесконечномерных пространств).
Углом между двумя ненулевыми векторами на евклидовой плоскости называется число, косинус которого равен отношению скалярного произведения этих векторов к произведению их длин (норм):
$\langle\vec a, \vec b\rangle = |\vec a| |\vec b| \cos \phi.$
В случае, если плоскость является псевдоевклидовой, понятие угла определяется лишь для векторов, не содержащих изотропных прямых внутри образованного векторами сектора. Сам угол при этом вводится как число, гиперболический косинус которого равен отношению модуля скалярного произведения этих векторов к произведению их длин (норм):
$|\langle\vec a, \vec b\rangle| = |\vec a| |\vec b| \operatorname{ch} \phi.$

Ортогональными (перпендикулярными) называются векторы, скалярное произведение которых равно $0$ . Это определение применимо к любым пространствам с положительно определённым скалярным произведением. Например, ортогональные многочлены действительно являются ортогональными (в смысле этого определения) друг к другу в некотором гильбертовом пространстве.

Пространство (вещественное или комплексное) с положительно определённым скалярным произведением называется предгильбертовым пространством.
- При этом конечномерное вещественное пространство с положительно определённым скалярным произведением называется также евклидовым, а комплексное — эрмитовым или унитарным пространством.
Случай, когда скалярное произведение не является знакоопределённым, приводит к т. н. пространствам с индефинитной метрикой. Скалярное произведение в таких пространствах уже не порождает нормы (и она обычно вводится дополнительно). Конечномерное вещественное пространство с индефинитной метрикой называется псевдоевклидовым (важнейшим частным случаем такого пространства является пространство Минковского). Среди бесконечномерных пространств с индефинитной метрикой важную роль играют пространства Понтрягина и пространства Крейна.

[править] Примеры

В трёхмерном вещественном векторном пространстве векторов введение скалярного произведения по формуле превращает это пространство в евклидово пространство. Аналогичное утверждение верно для евклидова пространства любой размерности (в сумму тогда входит количество членов, равное размерности пространства).
- В любом евклидовом пространстве (размерности n) всегда можно выбрать^[1] ортонормированный базис ${\vec e_1, \vec e_2,\dots,\vec e_n}$

при разложении векторов по которому:

$\vec a = a_1 \vec e_1 + a_2 \vec e_2 + \dots + a_n \vec e_n$ ,

$\vec b = b_1 \vec e_1 + b_2 \vec e_2 + \dots + b_n \vec e_n$ итд,

скалярное произведение будет выражаться приведенной выше формулой:

$\langle\vec a, \vec b\rangle=a^T b = a_1 b_1+a_2 b_2+\dots+a_n b_n$ .

В таком же, но комплексном, пространстве, скалярное произведение вводится по несколько другой формуле: $\langle\vec x, \vec y\rangle = x_1\overline{y_1}+x_2\overline{y_2}+x_3\overline{y_3}$ . Здесь через $\overline{a}$ обозначено число, комплексно сопряжённое к $\ a$ . При таком определении скалярное произведение становится положительно определённым. Без комплексного сопряжения аксиома эрмитовости скалярного произведения была бы нарушена, а значит, вещественности определённой через него нормы вектора добиться бы не удалось, то есть норма в обычном смысле им бы не порождалась.

В пространстве измеримых интегрируемых с квадратами на некоторой области Ω вещественных функций можно ввести положительно определённое скалярное произведение:

$\langle f, g \rangle = \int\limits_\Omega f(x) g(x) d\Omega$

В аналогичном случае для комплексных функций, если требуется эрмитовость (и положительная определённость) скалярного произведения, надо добавить комплексное сопряжение к f или g под интегралом.

При использовании неортонормированных базисов (метрика в ортонормированных базисах тривиальна, то есть единична) скалярное произведение выражается через компоненты векторов с участием метрического тензора $g i j$ :

$\langle\vec a, \vec b\rangle = \sum g_{ij}a^i b^j$

при этом сама метрика (говоря точнее, ее представление в данном базисе) так связана со скалярными произведениями базисных векторов $f_i\$ :

$g_{ij} = \langle\vec f_i, \vec f_j\rangle$

Аналогичные конструкции скалярного произведения можно вводить и на бесконечномерных пространствах, например, на пространствах функций:

$\langle f, g \rangle = \int\limits_{(\Omega_1 \times \Omega_2)} K(x_1,x_2) f(x_1) g(x_2) d(\Omega_1 \times \Omega_2)$

$\langle f, g \rangle = \int\limits_\Omega K(x) f(x) g(x) d\Omega$

где К — положительно определённая, в первом случае симметричная относительно перестановки аргументов (при комплексных x — эрмитова) функция (если нужно иметь обычное симметричное положительно определённое скалярное произведение).

[править] Применение

Использование скалярного произведения крайне широко, как в элементарных, так и в весьма абстрактных областях математики, физики и прикладных наук.

Широко известны следующие применения:

Любые геометрические вычисления (как собственно в математике, так и в приложениях), связанные с длинами, углами, проецированием, ортогональностью.

Например, теорема косинусов легко выводится с использованием скалярного произведения:

$|BC|^2 = \vec{BC}^2 = (\vec{AC} - \vec{AB})^2 = (\vec{AC} - \vec{AB})\cdot(\vec{AC} - \vec{AB}) = \vec{AC}^2 + \vec{AB}^2 - 2 \vec{AC}\cdot\vec{AB} = |AB|^2 + |AC|^2 - 2 |AB| |AC| \cos\hat A$

Угол между векторами:

$\alpha = \arccos \frac{\vec a\cdot\vec b}{\sqrt{(\vec a\cdot\vec a)(\vec b\cdot\vec b)}}$

Проекция вектора $\vec a$ на направление, определяемое единичным вектором $\vec e$ :

$a_e = \vec a\cdot\vec e$ ,

условие ортогональности^[2] (перпендикулярности) векторов $\vec a$ и $\vec b$ :

$\vec a\bot \vec b \Leftrightarrow \vec a\cdot\vec b = 0$

итд.

(При этом технические возможности вычислений со скалярными произведениями, как и вообще с векторами, значительно возрастают, если использовать — при желании или необходимости — и компонентное представление векторов вкупе с компонентным выражением скалярного произведения).

Площадь также выражается через скалярное произведение, например, двумерная площадь параллелограмма, натянутого на два вектора $\vec{a}\$ и $\vec{b}\$ , равна

$\sqrt{\langle \vec{a},\vec{a}\rangle \langle \vec{b},\vec{b}\rangle - \langle \vec{a},\vec{b}\rangle^2}\$

Аналогичные вычисления в геометризованных теориях в физике (таких, как СТО или ОТО).
Разложение векторов по базису и переход к новому базису, являющееся основой многих разделов математики и ключевым приемом эффективного решения практических геометрических задач или практических задач, формулируемых на языке линейной алгебры (относящихся, например, к статистике).
В том числе, в бесконечномерном случае: ряды Фурье, преобразования Фурье.
В векторном анализе — вычисление контурных интегралов, потоков, применение с оператором набла.

[править] В физике

В физике — кроме элементарных применений скалярного произведения в таких распространенных геометрических операциях, как проецирование, вычисление расстояний, норм (абсолютных величин) векторов итп (а частично и вследствие таких геометрических применений) можно выделить в качестве характерных примеров следующие применения скалярного произведения:

В механике, пожалуй, наиболее характерным применением скалярного произведения является вычисление работы:

$dA = \vec F \cdot \vec{dr}$ ,

$A = \int dA = \int \vec F \cdot \vec{dr}$ ,

(это также, конечно, имеет отношение к определению потенциальной и кинетической энергии). Также следует упомянуть формулу потока (жидкости, газа) через данную поверхность:

$d\Phi = \vec j \cdot \vec{dS} = \rho \vec v \cdot \vec{dS}$ ,

$\Phi = \int\limits_S d\Phi = \int\limits_S \vec j \cdot \vec{dS}$ .

В теории поля — аналогичные конструкции (контурные и поверхностные интегралы, скалярное произведение с оператором набла и прочие применения, характерные для векторного анализа) применяются к векторным полям. Кроме того скалярное произведение играет там существенную роль в построении инвариантов, в частности, инвариантного лагранжиана^[3]

Квантовая механика в одной из классических и наиболее распространенных формулировок полностью построена, как по смыслу, так и технически, на концепциях, ключевой конструкцией которых является бесконечномерное (в частных задачах и конечномерное) абстрактное пространство, снабжённое скалярным произведением, и преобразованиях Фурье.

[править] Обобщения

Простейшим обобщением конечномерного скалярного произведения в тензорной алгебре является свёртка по повторяющимся индексам. Аналогичное обобщение в принципе нетрудно сделать и в бесконечномерном случае.

[править] Примечания

↑ Ортонормированность базиса определяется условием $\langle \vec e_i, \vec e_j \rangle= \delta_{ij} = \bigg|{1, i = j\over 0, i \ne j}$ ), заключающемся в равенстве нулю скалярных произведений разных базисных векторов, например, первого и второго, первого и третьего, итд (ортогональность), и равенстве единице — скалярного произведения каждого базисного вектора с самим собой (нормированность). Упоминаемые в основном тексте формулы получаются прямым перемножением векторов, разложенных по такому базису, учитывая свойства скалярного произведения, особенно его билинейность, позволяющую раскрывать скобки итп как при вычислениях с обычными числами.
↑ В абстрактной формулировке названное условие $\vec a\bot \vec b$ — это всего лишь определение ортогональности, как и две формулы выше — также являются в абстрактной формулировке просто определениями соответствующих понятий через скалярное произведение, но они все можгут с успехом быть использовано в конкретных вычислениях, например, в элементарной геометрии, независимо от того, какая система определений используется, современная абстрактная или традиционная элементарная).
↑ В последнем случае речь идет чаще всего о четырехмерном псевдоевклидовом скалярном произведении, хотя и в трехмерной записи скалярное произведение — на этот раз трехмерное и евклидово — присутствует почти настолько же.

[править] См. также

[0] Ортонормированность базиса определяется условием $\langle \vec e_i, \vec e_j \rangle= \delta_{ij} = \bigg|{1, i = j\over 0, i \ne j}$ ), заключающемся в равенстве нулю скалярных произведений разных базисных векторов, например, первого и второго, первого и третьего, итд (ортогональность), и равенстве единице — скалярного произведения каждого базисного вектора с самим собой (нормированность). Упоминаемые в основном тексте формулы получаются прямым перемножением векторов, разложенных по такому базису, учитывая свойства скалярного произведения, особенно его билинейность, позволяющую раскрывать скобки итп как при вычислениях с обычными числами.

[1] В абстрактной формулировке названное условие $\vec a\bot \vec b$ — это всего лишь определение ортогональности, как и две формулы выше — также являются в абстрактной формулировке просто определениями соответствующих понятий через скалярное произведение, но они все можгут с успехом быть использовано в конкретных вычислениях, например, в элементарной геометрии, независимо от того, какая система определений используется, современная абстрактная или традиционная элементарная).

[2] В последнем случае речь идет чаще всего о четырехмерном псевдоевклидовом скалярном произведении, хотя и в трехмерной записи скалярное произведение — на этот раз трехмерное и евклидово — присутствует почти настолько же.

[1]

[2]

[3]

Скалярное произведение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Элементарное определение

[править] Связанные определения

[править] Примеры

[править] Применение

[править] В физике

[править] Обобщения

[править] Примечания

[править] См. также

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Участие

Инструменты

На других языках